Teorema cinese dei resti - primaformulazione
Confido la dimostrazione del teorema cinese, mi sta dando non pochi problemi al fine della comprensione dello stesso.
Th
Sia $s>1$ un intero . e siano $n_i, i in {1,2...........s}$ relativamente primi tra loro.
e siano $b_i , i in {1,2...........s}$ interi.
Allora il sistema $*$ $x-=b_i(modn_i)$ ammette soluzione.
Detta $x_0$ soluzione particolare di $(*)$ si ha che quella generale è data da
$x_k=x_0+(\prod_(i=1)^s n_i) k, k in ZZ$
dim
Considero $N=\prod_(i=1)^s n_i$ e $N_i=(\prod_(i=1)^s n_i)/n_i=\prod_(j!=i)n_j$.
Si osserva allora che $AA i$ si ha che la congruenza $N_ix-=b_i(modn_i)$ ammette soluzione $c_i$, visto che $AA i , (N_i,n_i)=1$.
Poniamo $c=sum_(i=1)^s N_ic_i$ e mostriamo che è soluzione di $(*)$.
Fissato un indice $i$ si osserva che per ogni $i!=j$ $n_i|N_j => n_i|N_jc_j$.
Si ha che $c=sum_(i=1)^s N_ic_i=N_ic_i+sum_(i!=j)^s N_jc_j-=N_ic_i-=b_i(modn_i)$ <-- ciò mostra che è soluzione di $(*)$.
Domanda.
Ho capito più o meno il senso di tale dimostrazione (incompleta, questa è la parte che non mi è tanto chiara), ma non riesco a capire bene il perché di alcuni passaggi.
Ho capito che definire $N,N_i$ serva per considerare poi la congruenza $N_ix-=b_i(modn_i)$ ma perché da dove salta fuori? Forse $x-=b_i(modn_i) $ e $N_ix-=b_i(modn_i)$ sono equivalenti?
Ho capito che per come è definita , tale congruenza è sempre risolvibile ed ha come soluzione $c_i$, e poi si dimostra che $c=sum_(i=1)^s N_ic_i$ èsoluzione dell'intero sistema.
Ma cosa mi fa arrivare a dire ciò?
cioè cosa mi permette di costruire $c$? grazie mille per una vostra delucidazione e soprattutto per la domanda stupida
Th
Sia $s>1$ un intero . e siano $n_i, i in {1,2...........s}$ relativamente primi tra loro.
e siano $b_i , i in {1,2...........s}$ interi.
Allora il sistema $*$ $x-=b_i(modn_i)$ ammette soluzione.
Detta $x_0$ soluzione particolare di $(*)$ si ha che quella generale è data da
$x_k=x_0+(\prod_(i=1)^s n_i) k, k in ZZ$
dim
Considero $N=\prod_(i=1)^s n_i$ e $N_i=(\prod_(i=1)^s n_i)/n_i=\prod_(j!=i)n_j$.
Si osserva allora che $AA i$ si ha che la congruenza $N_ix-=b_i(modn_i)$ ammette soluzione $c_i$, visto che $AA i , (N_i,n_i)=1$.
Poniamo $c=sum_(i=1)^s N_ic_i$ e mostriamo che è soluzione di $(*)$.
Fissato un indice $i$ si osserva che per ogni $i!=j$ $n_i|N_j => n_i|N_jc_j$.
Si ha che $c=sum_(i=1)^s N_ic_i=N_ic_i+sum_(i!=j)^s N_jc_j-=N_ic_i-=b_i(modn_i)$ <-- ciò mostra che è soluzione di $(*)$.
Domanda.
Ho capito più o meno il senso di tale dimostrazione (incompleta, questa è la parte che non mi è tanto chiara), ma non riesco a capire bene il perché di alcuni passaggi.
Ho capito che definire $N,N_i$ serva per considerare poi la congruenza $N_ix-=b_i(modn_i)$ ma perché da dove salta fuori? Forse $x-=b_i(modn_i) $ e $N_ix-=b_i(modn_i)$ sono equivalenti?
Ho capito che per come è definita , tale congruenza è sempre risolvibile ed ha come soluzione $c_i$, e poi si dimostra che $c=sum_(i=1)^s N_ic_i$ èsoluzione dell'intero sistema.
Ma cosa mi fa arrivare a dire ciò?
cioè cosa mi permette di costruire $c$? grazie mille per una vostra delucidazione e soprattutto per la domanda stupida
Risposte
up
A me questa formulazione del CRT non piace un granché... e tantomeno mi piace la dimostrazione [ma da dove l'hai presa?]
Punto primo: puoi vedere che senza perdita di generalità i vari $b_i$ siano in $ZZ_(n_i)$
Punto secondo (presumo sia anche il tuo dubbio): si ha che, dato $x-=_(n_i) b_i = c_i$ allora evidentemente $N_i*x-=_(n_i) b_i=c_i$
PS. La domanda non è stupida per niente.
Punto primo: puoi vedere che senza perdita di generalità i vari $b_i$ siano in $ZZ_(n_i)$
Punto secondo (presumo sia anche il tuo dubbio): si ha che, dato $x-=_(n_i) b_i = c_i$ allora evidentemente $N_i*x-=_(n_i) b_i=c_i$
PS. La domanda non è stupida per niente.
salve Rggb , l'ho presa dalle dispense della mia professoressa di Algebra 1. vedi qui
Anche a me non piace , preferisco la seguente.
Siano $n, m >1$ tali che $(n,m)=1$ allora $ZZ_(nm)~=ZZ_n X ZZ_m$
che è molto più facile da dimostrare. infatti basta costruire un Isomorfismo del tipo
$f : ZZ_(mn)->ZZ_n X ZZ_m$ $AA x in ZZ_(nm) , f(x)=([x]_n,[x]_m)$
Innanzi tutto $f$ è ben definita.
Infatti se $[x]_(nm)=[y]_(nm) => mn|x-y => m|x-y ^^ n|x-y = > [x]_n=[y]_n ^^ [x]_m=[y]_m<=>f([x]_(nm))=f([y]_(nm))$ (perché $n,m$ coprimi)
la verifica che $f$ è un omomorfismo è banale. Inoltre $Kerf={[0]_(mn)}$ e quindi $f$ è iniettiva, e quindi, un monomorfismo, e dato che gli insiemi sono equipotenti anche suriettiva e quindi biettiva.
Dalla suriettività si ritrova cosi la formulazione scritta sopra, e cioè esiste una sola soluzione modulo $nm$ tale che
$x-=a(modn)$
$x-=b(modm)$ per certi $a,b$ in $ZZ$.
Inoltre si può provare che l'isomorfismo sussiste per più $n_i$ tutti coprimi tra loro.
A confronto la prima, mi sembra un po nebulosa anche se alla fin fine dimostro la stessa cosa.
Mi manda fondamentalmente il passaggio logico che mi consente di considerare $N=\prodn_i$ e il sistema di congruenze del tipo
$N_ic_i-=b_i(modn_i)$..
Anche a me non piace , preferisco la seguente.
Siano $n, m >1$ tali che $(n,m)=1$ allora $ZZ_(nm)~=ZZ_n X ZZ_m$
che è molto più facile da dimostrare. infatti basta costruire un Isomorfismo del tipo
$f : ZZ_(mn)->ZZ_n X ZZ_m$ $AA x in ZZ_(nm) , f(x)=([x]_n,[x]_m)$
Innanzi tutto $f$ è ben definita.
Infatti se $[x]_(nm)=[y]_(nm) => mn|x-y => m|x-y ^^ n|x-y = > [x]_n=[y]_n ^^ [x]_m=[y]_m<=>f([x]_(nm))=f([y]_(nm))$ (perché $n,m$ coprimi)
la verifica che $f$ è un omomorfismo è banale. Inoltre $Kerf={[0]_(mn)}$ e quindi $f$ è iniettiva, e quindi, un monomorfismo, e dato che gli insiemi sono equipotenti anche suriettiva e quindi biettiva.
Dalla suriettività si ritrova cosi la formulazione scritta sopra, e cioè esiste una sola soluzione modulo $nm$ tale che
$x-=a(modn)$
$x-=b(modm)$ per certi $a,b$ in $ZZ$.
Inoltre si può provare che l'isomorfismo sussiste per più $n_i$ tutti coprimi tra loro.
A confronto la prima, mi sembra un po nebulosa anche se alla fin fine dimostro la stessa cosa.
Mi manda fondamentalmente il passaggio logico che mi consente di considerare $N=\prodn_i$ e il sistema di congruenze del tipo
$N_ic_i-=b_i(modn_i)$..
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