Tabella gruppi fondamentali
Salve a tutti.
Volevo per caso chiedere se qualcuno ha per caso qualche tabella o una lista dei principali oggetti topologici (toro, $S^n$, bottiglia di Klein, nastro di Moebius,...) con i relativi gruppi fondamentali.
In particolar modo mi serve sapere qual è il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein e del Nastro di Moebius.
Quali sono i principali teoremi che si usano per determinare il gruppo fondamentale?
Grazie mille!
Volevo per caso chiedere se qualcuno ha per caso qualche tabella o una lista dei principali oggetti topologici (toro, $S^n$, bottiglia di Klein, nastro di Moebius,...) con i relativi gruppi fondamentali.
In particolar modo mi serve sapere qual è il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein e del Nastro di Moebius.
Quali sono i principali teoremi che si usano per determinare il gruppo fondamentale?
Grazie mille!
Risposte
devo essere sincero speravo che qualcuno ti rispondesse per poter attingere anch'io alla risposta ma visto che nessuno lo fa ti dico quello che sono riuscito a capire io.
Innanzitutto: Bottiglia di Klein $pi=$ (si può fare con Seifert-Van Kampen)
Nastro di Moebius $pi=ZZ$ (mi pare sempre con Van-Kampen si può fare, comunque si vede che il nastro è contraibile sulla circonferenza mediana)
come avrai capito uno dei metodi è Seifert-Van Kampen. Puoi usare i rivestimenti se $p:Y->X$ è un rivestimento e Y è semplicemente connesso e vuoi calcolare il $pi(X,x_0)$ sai che c'è un'applicazione biunivoca $phi:pi(X,x_0)->p^(-1)(x_0)$ se riesci a mettere una struttura di gruppo su $p^(-1)(x_0)$ tale che $phi$ sia un isomorfismo di gruppi hai fatto (non è cosa semplice). Se lo spazio è un CW-complesso puoi considerare lo scheletro uni-dimensionale e quozientare per le relazioni date dalle 2-celle. Poi anche se qui ho qualche dubbio se la superfice è compatta e orientabile puoi provare con il genere (nelle curve algebriche piane basta trovare i punti singolari). Per il momento non mi viene in mente altro, se hai domande fammele e provo a rispondere
ciao
Innanzitutto: Bottiglia di Klein $pi=
Nastro di Moebius $pi=ZZ$ (mi pare sempre con Van-Kampen si può fare, comunque si vede che il nastro è contraibile sulla circonferenza mediana)
come avrai capito uno dei metodi è Seifert-Van Kampen. Puoi usare i rivestimenti se $p:Y->X$ è un rivestimento e Y è semplicemente connesso e vuoi calcolare il $pi(X,x_0)$ sai che c'è un'applicazione biunivoca $phi:pi(X,x_0)->p^(-1)(x_0)$ se riesci a mettere una struttura di gruppo su $p^(-1)(x_0)$ tale che $phi$ sia un isomorfismo di gruppi hai fatto (non è cosa semplice). Se lo spazio è un CW-complesso puoi considerare lo scheletro uni-dimensionale e quozientare per le relazioni date dalle 2-celle. Poi anche se qui ho qualche dubbio se la superfice è compatta e orientabile puoi provare con il genere (nelle curve algebriche piane basta trovare i punti singolari). Per il momento non mi viene in mente altro, se hai domande fammele e provo a rispondere
ciao
Grazie per la risposta rubik... 
quasi temevo che non mi rispondesse più nessuno...
Allora ne dico anche io un paio (se qualcuno ne ha di "esotici", sarebbe interessante vederli):
- $\pi_1(S^1) \cong ZZ$
- $\pi_1(S^n) \cong {e}$ per tutte le $n \ge 2$
- $\pi_1(SL_2(RR)) \cong ZZ$
- $\pi_1($ "Figura 8" $) \cong < a,b >$
- $\pi_1( P^n(RR)) \cong ZZ //2ZZ$ se $n \ge 2$, $\pi_1( P^1(RR)) \cong ZZ$, dove $P(RR^n) := S^n// \sim$ , con $a \sim -a$ ($a \in S^n$).
quasi temevo che non mi rispondesse più nessuno...Allora ne dico anche io un paio (se qualcuno ne ha di "esotici", sarebbe interessante vederli):
- $\pi_1(S^1) \cong ZZ$
- $\pi_1(S^n) \cong {e}$ per tutte le $n \ge 2$
- $\pi_1(SL_2(RR)) \cong ZZ$
- $\pi_1($ "Figura 8" $) \cong < a,b >$
- $\pi_1( P^n(RR)) \cong ZZ //2ZZ$ se $n \ge 2$, $\pi_1( P^1(RR)) \cong ZZ$, dove $P(RR^n) := S^n// \sim$ , con $a \sim -a$ ($a \in S^n$).
e io vi propongo il calcolo del greppo fondamentale del seguente spazio:
L’unione della sfera unitaria di R3 con il segmento che unisce il polo nord con il polo
sud.
ed
L’unione della sfera unitaria di R3 con il disco unitario nel piano x, y.
L’unione della sfera unitaria di R3 con il segmento che unisce il polo nord con il polo
sud.
ed
L’unione della sfera unitaria di R3 con il disco unitario nel piano x, y.
1) secondo me è isomorfo al gruppo fondamentale della figura "8", ovvero al gruppo generato da due elementi $a$ e $b$...ma non ne sono sicuro...
2) è il gruppo banale?
2) è il gruppo banale?
per me è $ZZ$ nel primo caso e ${e}$ nel secondo
sul secondo sono d'accordo con voi... ma il primo???
non so proprio? perche dovrebbe essere $ZZ$ oppure il gruppo della figura otto??
non so proprio? perche dovrebbe essere $ZZ$ oppure il gruppo della figura otto??
Mmm forse ho detto una cacchiata...credo che abbia ragione rubik, è $ZZ$...
Lo intuisci dal fatto che è un po' come $S^1$, ovvero se fai partire il tuo cammino dall'origine (è contenuto nell'insieme perché c'è il segmento) e arrivi al polo nord, e poi ti muovi sulla sfera fino al polo sud e ritorni al punto di partenza, quella formerà un'unica classe di omotopia che comprenderà tutti i cammini che farai per andare dal polo nord a quello sud (e non due, come pensavo prima)...e quindi le classi di omotopia (ovvero gli elementi del gruppo fondamentale) comprenderanno il "numero di giri" che farai, nelle due direzioni (da nord a sud o da sud a nord).
Quindi è un po' come lavorare su $S^1$, il cui gruppo fondamentale è $ZZ$....
Lo intuisci dal fatto che è un po' come $S^1$, ovvero se fai partire il tuo cammino dall'origine (è contenuto nell'insieme perché c'è il segmento) e arrivi al polo nord, e poi ti muovi sulla sfera fino al polo sud e ritorni al punto di partenza, quella formerà un'unica classe di omotopia che comprenderà tutti i cammini che farai per andare dal polo nord a quello sud (e non due, come pensavo prima)...e quindi le classi di omotopia (ovvero gli elementi del gruppo fondamentale) comprenderanno il "numero di giri" che farai, nelle due direzioni (da nord a sud o da sud a nord).
Quindi è un po' come lavorare su $S^1$, il cui gruppo fondamentale è $ZZ$....
Io ho usato una decomposizione cellulare:
- 0-celle: prendo il polo nord e il polo sud
- 1-celle: prendo il segmento che li unisce e un meridiano qualsiasi
- 2-celle: prendo quello che resta (è un'unica due cella)
La relazione indotta dalla 2-cella è banale lo scheletro unidimensionale è praticamente una circonferenza quindi il gruppo fondamentale è $ZZ$ posto il disegno:
con la riserva che potrei sbagliarmi
- 0-celle: prendo il polo nord e il polo sud
- 1-celle: prendo il segmento che li unisce e un meridiano qualsiasi
- 2-celle: prendo quello che resta (è un'unica due cella)
La relazione indotta dalla 2-cella è banale lo scheletro unidimensionale è praticamente una circonferenza quindi il gruppo fondamentale è $ZZ$ posto il disegno:
con la riserva che potrei sbagliarmi
Wow che bel metodo...
Io non le ho fatte ancora queste cose, sono stato molto più intuitivo...
qua http://www.mat.uniroma2.it/~nacinovi/files/cwcompl.pdf gli appunti sul metodo 
nel caso ti interessasse, in pratica non è male la teoria va vista con calma, comunque da noi è programma di geometria 4 non uno dei primi corsi
nel caso ti interessasse, in pratica non è male la teoria va vista con calma, comunque da noi è programma di geometria 4 non uno dei primi corsi
Grazie mille!
Rubik sai come si dimostra che
$\pi_1( SO(3), I) \cong ZZ//2ZZ$?
L'ho trovato in giro e non so proprio come dimostralo....
$\pi_1( SO(3), I) \cong ZZ//2ZZ$?
L'ho trovato in giro e non so proprio come dimostralo....
1 c'è da dimostrare che $SO(3)\congRR\mathbbP^3$
2 poi si usano i rivestimenti per dimostrare che se X è un G-spazio semplicemente connesso allora $pi(X//G,x_0)\congG$
3 noti che $RR\mathbbP^3\congS^3//ZZ_2$ e quindi ottieni $ZZ_2$
questa è l'unica strada che mi pare di conoscere e il punto 1 non mi ricordo come si dimostra devo cercare negli appunti dovrei averlo, se lo trovo trascrivo. se trovi un'altra strada fammi sapere, ciao
2 poi si usano i rivestimenti per dimostrare che se X è un G-spazio semplicemente connesso allora $pi(X//G,x_0)\congG$
3 noti che $RR\mathbbP^3\congS^3//ZZ_2$ e quindi ottieni $ZZ_2$
questa è l'unica strada che mi pare di conoscere e il punto 1 non mi ricordo come si dimostra devo cercare negli appunti dovrei averlo, se lo trovo trascrivo. se trovi un'altra strada fammi sapere, ciao
Per il fatto che il gruppo fondamentale di $RR(P^3)$ è isomorfo a $ZZ//2ZZ$ mi ricordo di averlo fatto in classe. L'unico problema è appunto, come dici te, dimostrare l'isomorfismo tra $SO(3)$ e $RR(P^3)$...
Ho trovato una dimostrazione negli appunti di un corso però fa uso delle algebre di lie che io sinceramente non so proprio cosa sono
http://www.mat.uniroma2.it/~nacinovi/fi ... amma08.pdf verso pagina 105.
vedo se riesco a trovare qualcosa di meglio (di più abbordabile magari). ciao
http://www.mat.uniroma2.it/~nacinovi/fi ... amma08.pdf verso pagina 105.
vedo se riesco a trovare qualcosa di meglio (di più abbordabile magari). ciao
Mi intrometto per segnalare che il link corretto dovrebbe essere http://www.mat.uniroma2.it/~nacinovi/files/note4.pdf.
Già che ci sono provo a dire qualche parolina in maniera informale, se dico qualche stupidaggine riprendetemi pure.
Senza stare a scomodare le algebre credo sia più comodo considerare i gruppi di Lie che sono più semplici. Un gruppo di Lie è un gruppo che è al tempo stesso una varietà differenziabile, perciò dipende in maniera continua da uno o più parametri. Il gruppo $SO(3)$ è il gruppo delle rotazioni in $\RR^3$ e si vede intuitivamente che la varietà associata è $S^3$ con la mappa antipodale $P->-P$. Infatti ad ogni punto della sfera possiamo associare una rotazione, con la condizione però che due rotazioni di $\pi$ e $-\pi$ devono portare nello stesso punto, il che ci viene garantito dalla mappa antipodale. Ora per quel poco che ne so degli spazi proiettivi questa dovrebbe essere proprio una delle caratterizzazioni di $\RRℙ^3$, quindi l'omeomorfismo è immediato.
Già che ci sono provo a dire qualche parolina in maniera informale, se dico qualche stupidaggine riprendetemi pure.
Senza stare a scomodare le algebre credo sia più comodo considerare i gruppi di Lie che sono più semplici. Un gruppo di Lie è un gruppo che è al tempo stesso una varietà differenziabile, perciò dipende in maniera continua da uno o più parametri. Il gruppo $SO(3)$ è il gruppo delle rotazioni in $\RR^3$ e si vede intuitivamente che la varietà associata è $S^3$ con la mappa antipodale $P->-P$. Infatti ad ogni punto della sfera possiamo associare una rotazione, con la condizione però che due rotazioni di $\pi$ e $-\pi$ devono portare nello stesso punto, il che ci viene garantito dalla mappa antipodale. Ora per quel poco che ne so degli spazi proiettivi questa dovrebbe essere proprio una delle caratterizzazioni di $\RRℙ^3$, quindi l'omeomorfismo è immediato.
E' simile a quello che fa il professore, io però non ho mai visto ne algebre ne gruppi di lie, per questo mi rimane piuttosto oscuro . grazie per la correzione del link
. grazie per la correzione del link
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