Sylow centrale
Ciao a tutti sto provando a dimostrare certe proposizioni ma mi scontro sempre con l'esistenza di un \( p \)-Sylow centrale. A quanto ho capito, sarebbe un \( p \)-Sylow contenuto nel centro del gruppo. Se così fosse sarebbe anche l'unico (in base al teorema di Sylow). Qualcuno ha definizioni alternative o mi può confermare?grazie
Risposte
Spiego meglio, magari rendo più accattivante la cosa. Quello che vorrei dimostrare è: dato un primo \(p\) e un gruppo finito \(G\) allora
se \(p \notin V(G/\Phi(G))\) allora un \( p\)-Sylow di \(G\) è un suo fattore diretto.
dove con \( V(G/\Phi(G))\) intendo l'insieme dei primi che dividono la cardinalità di una classe di coniugio di \(G/\Phi(G)\) e con \(\Phi(G)\) il sottogruppo di Frattini.
Quello che so è che se \(p \notin V(G)\) allora \(G\) ha un \(p\)-Sylow centrale.
Ho provato considerando cardinalità di classi e indice del centralizzante ma non riesco a concludere.
se \(p \notin V(G/\Phi(G))\) allora un \( p\)-Sylow di \(G\) è un suo fattore diretto.
dove con \( V(G/\Phi(G))\) intendo l'insieme dei primi che dividono la cardinalità di una classe di coniugio di \(G/\Phi(G)\) e con \(\Phi(G)\) il sottogruppo di Frattini.
Quello che so è che se \(p \notin V(G)\) allora \(G\) ha un \(p\)-Sylow centrale.
Ho provato considerando cardinalità di classi e indice del centralizzante ma non riesco a concludere.
Se puoi usare il teorema di Schur-Zassenhaus concludi velocemente: un sottogruppo di Sylow normale è complementato, e se è pure centrale allora i complementi sono normali.
Ok ripeto il ragionamento per vedere se è corretto. se \(p \notin V(G/\Phi(G))\) allora \(p \notin V(G)\) quindi \(G\) ha un \( p\)-Sylow \(P\) centrale (cioè contenuto nel centro) che è in particolare normale in \(G\). Per il teorema di Schur-Zannenhaus, \(P\) ha un complemento in \(G\).
Fino a qui ci sono, mi mancherebbe da capire perchè il complemento debba essere normale a causa del fatto che \(P\) sia centrale.
Comunque intanto ci penso e ti ringrazio per l'aiuto.
Fino a qui ci sono, mi mancherebbe da capire perchè il complemento debba essere normale a causa del fatto che \(P\) sia centrale.
Comunque intanto ci penso e ti ringrazio per l'aiuto.
In generale se [tex]G=HK[/tex] è un prodotto di due sottogruppi e [tex]K \subseteq Z(G)[/tex] (dove [tex]Z(G)[/tex] indica il centro di [tex]G[/tex]) allora [tex]H[/tex] è normale in [tex]G[/tex]. Infatti ogni elemento di [tex]G[/tex] si scrive come [tex]g=hk[/tex] con [tex]h \in H, k \in K \subseteq Z(G)[/tex] e quindi se [tex]x \in H[/tex] allora
[tex]g^{-1} x g = k^{-1} h^{-1} x h k = h^{-1} x h \in H[/tex]
essendo [tex]k[/tex] centrale e [tex]x,h \in H[/tex].
[tex]g^{-1} x g = k^{-1} h^{-1} x h k = h^{-1} x h \in H[/tex]
essendo [tex]k[/tex] centrale e [tex]x,h \in H[/tex].
A questo punto credo di aver concluso. Se \(G=PH\) con \(H\) complemento di \(P\) sottogruppo centrale allora ogni \(g \in G\) può essere scritto univocamente come \(g=ph\). Allora \(gH=phH=pH=Hp=Hhp=Hph=Hg\) cioè \(H \trianglelefteq G\).
Credo che possa funzionare. Grazie
Credo che possa funzionare. Grazie
come hai detto tu è molto più chiaro grazie
Rileggendo ho un piccolo dubbio su un passaggio che spero sia infondato: se \(p\) non divide alcuna classe di coniugio di \(G/\Phi(G)\) allora \(p\) non divide alcuna classe di coniugio di \(G\).
Ho già dimostrato che se \(p\) divide una classe di coniugio di \(G/\Phi(G)\) allora \(p\) divide una classe di coniugio di \(G\). Quello che vorrei io non so se è vero. bisognerebbe dimostrarlo. Qualcuno può confermare? grassie
Ho già dimostrato che se \(p\) divide una classe di coniugio di \(G/\Phi(G)\) allora \(p\) divide una classe di coniugio di \(G\). Quello che vorrei io non so se è vero. bisognerebbe dimostrarlo. Qualcuno può confermare? grassie
"zen86":Scritto così implicherebbe che se [tex]G/\Phi(G)[/tex] è abeliano allora [tex]G[/tex] è abeliano. Questo è falso, un controesempio è [tex]G=Q_8[/tex], il gruppo dei quaternioni, [tex]Q_8/\Phi(Q_8) \cong C_2 \times C_2[/tex]. In realtà ogni [tex]p[/tex]-gruppo non abeliano è un controesempio.
se \(p\) non divide alcuna classe di coniugio di \(G/\Phi(G)\) allora \(p\) non divide alcuna classe di coniugio di \(G\).
Se riportassi tutta la dimostrazione si capirebbe meglio di cosa stai parlando
Quello che dovrei dimostrare è questo:
dato un primo \(p\) e un gruppo finito \(G\) allora
se \(p \notin V(G/\Phi(G))\) allora un \( p\)-Sylow di \(G\) è un suo fattore diretto.
Ho dimostrato le seguenti cose:
\(p \notin V(G)\) se e solo se \(G\) ha un \( p\)-Sylow centrale.
e anche che se \(x \in G\) e \(N \trianglelefteq G\) allora \( |\mathbf{cl}(xN)|\) divide \( |\mathbf{cl}(x)|\).
Dato che questo è un teorema che viene dato senza dimostrazione, dovrebbe essere un risultato noto. A me non sembra così banale, forse perchè non so giostrarmi bene con le cardinalita delle classi del quoziente.
Comunque ho pensato che \(p \notin V(G/\Phi(G))\) allora \(G/\Phi(G)\) ha un \(p\)-Sylow centrale. A questo punto mi piacerebbe usare la corrispondenza col quoziente per affermare che anche \(G\) ha un \(p\)-Sylow centrale. Ma questo credo sia chiedere troppo. Anche perchè così avrei concluso.
dato un primo \(p\) e un gruppo finito \(G\) allora
se \(p \notin V(G/\Phi(G))\) allora un \( p\)-Sylow di \(G\) è un suo fattore diretto.
Ho dimostrato le seguenti cose:
\(p \notin V(G)\) se e solo se \(G\) ha un \( p\)-Sylow centrale.
e anche che se \(x \in G\) e \(N \trianglelefteq G\) allora \( |\mathbf{cl}(xN)|\) divide \( |\mathbf{cl}(x)|\).
Dato che questo è un teorema che viene dato senza dimostrazione, dovrebbe essere un risultato noto. A me non sembra così banale, forse perchè non so giostrarmi bene con le cardinalita delle classi del quoziente.
Comunque ho pensato che \(p \notin V(G/\Phi(G))\) allora \(G/\Phi(G)\) ha un \(p\)-Sylow centrale. A questo punto mi piacerebbe usare la corrispondenza col quoziente per affermare che anche \(G\) ha un \(p\)-Sylow centrale. Ma questo credo sia chiedere troppo. Anche perchè così avrei concluso.
Però, se \(G/\Phi(G)\) ha un \(p\)-Sylow centrale \(\bar{P}\) esso è anche normale ed è quindi l'unico Sylow del quoziente. Allora segue che anche \(G\) ha un solo \(p\)-Sylow \(P\). Ma quindi \(P\) è normale in quanto \(n_{p}=1=[G:\mathrm{N}_{G}(P)]\) per il teorema di Sylow e quindi \(G=\mathrm{N}_{G}(P)\), dove \(\mathrm{N}_{G}(P)=\{g \in G: gP=Pg\}\). Ma quindi \(P\) è un sottogruppo di Hall e quindi si può applicare il teorema di schur-zannenhaus. Cioè \(P\) ha un complemento in \(G\). Resta solo da far vedere che \(H \trianglelefteq G\). Ci penso un pò su.
"zen86":Infatti non puoi. A priori il [tex]p[/tex]-Sylow di [tex]G[/tex] può benissimo essere non abeliano, figuriamoci centrale. Un esempio è [tex]Q_8[/tex], come dicevo nel precedente intervento. Lui è 2-Sylow di se stesso ed essendo non abeliano non è centrale, mentre [tex]Q_8/\Phi(Q_8) \cong C_2 \times C_2[/tex] è abeliano.
Comunque ho pensato che \(p \notin V(G/\Phi(G))\) allora \(G/\Phi(G)\) ha un \(p\)-Sylow centrale. A questo punto mi piacerebbe usare la corrispondenza col quoziente per affermare che anche \(G\) ha un \(p\)-Sylow centrale. Ma questo credo sia chiedere troppo.
Prendi un [tex]p[/tex]-Sylow [tex]Q[/tex] di [tex]\Phi(G)[/tex]. Lui è contenuto in un [tex]p[/tex]-Sylow [tex]P[/tex] di [tex]G[/tex], e [tex]Q[/tex] è normale in [tex]G[/tex] per [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Frattini's_argument]l'argomento di Frattini[/url]. Siccome [tex]P \Phi(G)/\Phi(G)[/tex] è un [tex]p[/tex]-Sylow centrale di [tex]G/\Phi(G)[/tex], segue dal teorema di Schur-Zassenhaus che esiste [tex]N \unlhd G[/tex] contenente [tex]\Phi(G)[/tex] con [tex]PN = G[/tex] e [tex]P \cap N = Q[/tex], e che quindi [tex]Q[/tex] è un [tex]p[/tex]-Sylow di [tex]N[/tex] e sempre per Schur-Zassenhaus ammette un complemento [tex]M[/tex] in [tex]N[/tex]: [tex]QM=N[/tex] e [tex]Q \cap M = \{1\}[/tex]. Segue che [tex]PM = PQM = PN = G[/tex], [tex]P \cap M = P \cap N \cap M = Q \cap M = \{1\}[/tex] e per concludere che [tex]G \cong P \times M[/tex] rimane da mostrare che [tex]M \unlhd G[/tex], cioe' che [tex]N_G(M) = G[/tex].
Sia [tex]g \in G[/tex]. Allora [tex]g^{-1}Mg[/tex] e' un altro complemento di [tex]Q[/tex] in [tex]N[/tex], quindi per Schur-Zassenhaus esiste [tex]x \in N[/tex] con [tex]g^{-1}Mg = x^{-1}Mx[/tex], da cui [tex]gx^{-1} \in N_G(M)[/tex] e quindi [tex]g \in N_G(M) N[/tex]. Ne segue che
[tex]G = N \cdot N_G(M) = QM \cdot N_G(M) = Q \cdot N_G(M) \subseteq \Phi(G) \cdot N_G(M)[/tex].
Quindi [tex]\Phi(G) \cdot N_G(M) = G[/tex], quindi [tex]N_G(M) = G[/tex] (altrimenti [tex]\Phi(G)[/tex] e [tex]N_G(M)[/tex] sarebbero entrambi contenuti in un sottogruppo massimale di [tex]G[/tex] e quindi non si potrebbe avere [tex]\Phi(G) N_G(M) = G[/tex]).
ok, grazie, speravo ci fosse un modo più veloce per dimostrarlo senza utilizzare argomento di frattini o altro. Magari c'è, oppure no. Comunque grazie per averci dedicato del tempo. A presto
Probabilmente c'è un modo più breve. Comunque l'argomento di Frattini è un bel risultato ma non è un cosiddetto "cannone". Schur-Zassenhaus, quello sì che è un cannone.
Argh! alla fine riguardando la dimostrazione del fatto che \(p \notin V(G)\) se e solo se \(G\) ha un \(p\)-Sylow centrale ho trovato un'imprecisione.
Non riesco a concludere la parte "se". Riesco a dire che tutti i \(p\)-Sylow di \(G\) sono anche dei centralizzanti dei vari elementi ma come faccio a dire che ce n'è uno centrale?
Non riesco a concludere la parte "se". Riesco a dire che tutti i \(p\)-Sylow di \(G\) sono anche dei centralizzanti dei vari elementi ma come faccio a dire che ce n'è uno centrale?
L'argomento a cui ho pensato è questo.
Supponi che [tex]p \not \in V(G)[/tex], cioè che il centralizzante di ogni elemento contenga almeno un [tex]p[/tex]-Sylow.
Sia [tex]P[/tex] un fissato [tex]p[/tex]-Sylow di [tex]G[/tex]. Siccome i [tex]p[/tex]-Sylow sono coniugati, per ogni [tex]x \in G[/tex] esiste [tex]g \in G[/tex] tale che [tex]P \subseteq C_G(g^{-1}xg)[/tex], cioè [tex]g^{-1}xg \in C_G(P)[/tex].
Ne segue che [tex]H := C_G(P)[/tex] contiene almeno un rappresentante di ogni classe di coniugio di [tex]G[/tex].
In altre parole [tex]\bigcup_{g \in G} g^{-1}Hg = G[/tex] (*).
Dichiaro che questo implica [tex]H=G[/tex].
Supponiamo per assurdo [tex]H \neq G[/tex]. Come è ben noto, [tex]H[/tex] ha esattamente [tex]|G:N_G(H)|[/tex] coniugati in [tex]G[/tex], dove
[tex]N_G(H) = \{g \in G\ :\ g^{-1}Hg = H\}[/tex]
indica il normalizzante di [tex]H[/tex] in [tex]G[/tex].
Siccome [tex]H \subseteq N_G(H)[/tex] si ha
[tex]|G:N_G(H)| \leq |G:H|[/tex].
Siccome [tex]H \neq G[/tex] da (*) segue che [tex]H[/tex] non è normale in [tex]G[/tex], cioè [tex]|G:N_G(H)| \geq 2[/tex].
Siccome [tex]1 \in g^{-1}Hg[/tex] per ogni [tex]g \in G[/tex], l'unione (*), che consiste di [tex]|G:N_G(H)| \geq 2[/tex] termini, non è disgiunta e quindi detti
[tex]g_i^{-1}Hg_i[/tex], [tex]i=1,\ldots,|G:N_G(H)| \geq 2[/tex]
i coniugati di [tex]H[/tex] in [tex]G[/tex], si ha
[tex]|G| = |\bigcup_{g \in G} g^{-1}Hg| < \sum_{i=1}^{|G:N_G(H)|} |g_i^{-1}Hg_i|[/tex]
[tex]= \sum_{i=1}^{|G:N_G(H)|} |H| = |G:N_G(H)| \cdot |H| \leq |G:H| \cdot |H| = |G|[/tex],
assurdo. Quindi [tex]C_G(P) = H = G[/tex], cioè [tex]P[/tex] è centrale in [tex]G[/tex].
Supponi che [tex]p \not \in V(G)[/tex], cioè che il centralizzante di ogni elemento contenga almeno un [tex]p[/tex]-Sylow.
Sia [tex]P[/tex] un fissato [tex]p[/tex]-Sylow di [tex]G[/tex]. Siccome i [tex]p[/tex]-Sylow sono coniugati, per ogni [tex]x \in G[/tex] esiste [tex]g \in G[/tex] tale che [tex]P \subseteq C_G(g^{-1}xg)[/tex], cioè [tex]g^{-1}xg \in C_G(P)[/tex].
Ne segue che [tex]H := C_G(P)[/tex] contiene almeno un rappresentante di ogni classe di coniugio di [tex]G[/tex].
In altre parole [tex]\bigcup_{g \in G} g^{-1}Hg = G[/tex] (*).
Dichiaro che questo implica [tex]H=G[/tex].
Supponiamo per assurdo [tex]H \neq G[/tex]. Come è ben noto, [tex]H[/tex] ha esattamente [tex]|G:N_G(H)|[/tex] coniugati in [tex]G[/tex], dove
[tex]N_G(H) = \{g \in G\ :\ g^{-1}Hg = H\}[/tex]
indica il normalizzante di [tex]H[/tex] in [tex]G[/tex].
Siccome [tex]H \subseteq N_G(H)[/tex] si ha
[tex]|G:N_G(H)| \leq |G:H|[/tex].
Siccome [tex]H \neq G[/tex] da (*) segue che [tex]H[/tex] non è normale in [tex]G[/tex], cioè [tex]|G:N_G(H)| \geq 2[/tex].
Siccome [tex]1 \in g^{-1}Hg[/tex] per ogni [tex]g \in G[/tex], l'unione (*), che consiste di [tex]|G:N_G(H)| \geq 2[/tex] termini, non è disgiunta e quindi detti
[tex]g_i^{-1}Hg_i[/tex], [tex]i=1,\ldots,|G:N_G(H)| \geq 2[/tex]
i coniugati di [tex]H[/tex] in [tex]G[/tex], si ha
[tex]|G| = |\bigcup_{g \in G} g^{-1}Hg| < \sum_{i=1}^{|G:N_G(H)|} |g_i^{-1}Hg_i|[/tex]
[tex]= \sum_{i=1}^{|G:N_G(H)|} |H| = |G:N_G(H)| \cdot |H| \leq |G:H| \cdot |H| = |G|[/tex],
assurdo. Quindi [tex]C_G(P) = H = G[/tex], cioè [tex]P[/tex] è centrale in [tex]G[/tex].
Ti ringrazio per la disponibilità. Anche se come spesso mi succede ho come l'impressione che si possa fare in maniera più veloce. Non che la tua prova non lo sia intendiamoci. Io avevo pensato che per dimostrare l'esistenza di un \(p\)-Sylow centrale posso mostrare che \(p \nmid [G : \mathbf{Z}(G)]\). Ora dato che \([G : \mathbf{Z}(G)]=[G : \cap\mathrm{C}_{G}(x)]\) per vari \(x \in G\) e sapendo che \(p \nmid [G : \mathrm{C}_{G}(x)]\), credevo che la cosa fosse facile. E invece così non riesco. Comunque grazie e se trovo un altro modo, lo posterò.
Se [tex]A,B \leq G[/tex] e [tex]AB \leq G[/tex] (in realtà basta che [tex]|AB|[/tex] divida [tex]|G|[/tex]) allora è vero che [tex]|G:A \cap B|[/tex] divide [tex]|G:A| \cdot |G:B|[/tex], il problema è che se [tex]AB \not \leq G[/tex] la cosa è falsa in generale. Come esempio in cui questo fallisce puoi prendere [tex]A,B[/tex] due sottogruppi di ordine [tex]2[/tex] in [tex]G=S_3[/tex].
La dimostrazione che ho scritto sopra è lunga solo perché ho voluto scrivere tutto in dettaglio. Una versione breve potrebbe essere:
Se [tex]p \not \in V(G)[/tex] allora ogni centralizzante contiene almeno un [tex]p[/tex]-Sylow, quindi siccome i [tex]p[/tex]-Sylow sono coniugati, detto [tex]P[/tex] un fissato [tex]p[/tex]-Sylow si ha [tex]\bigcup_{g \in G}g^{-1} C_G(P) g = G[/tex]. I coniugati di [tex]H=C_G(P)[/tex] contengono tutti 1 e sono al più [tex]|G:H|[/tex], per cui coprono al massimo [tex]1+(|H|-1)|G:H| = |G|-|G:H|+1[/tex] elementi. Ne segue che [tex]|G:H|=1[/tex], cioè [tex]C_G(P)=G[/tex].
Osserva che con lo stesso argomento dimostri anche che ogni gruppo finito è generato da rappresentanti di classi di coniugio distinte. Credo sia un po' questa la morale di questa storia. Sinceramente non so se il mio argomento si possa evitare, non me ne vengono in mente altri. Spero di sbagliarmi, mi piacerebbe vedere una dimostrazione alternativa!
Modifico: Ecco, trovato
Questo fatto è stato osservato per la prima volta qui (vedi inizio di pagina 2 del pdf), dove Serre discute interpretazioni in teoria dei numeri e topologia.
La dimostrazione che ho scritto sopra è lunga solo perché ho voluto scrivere tutto in dettaglio. Una versione breve potrebbe essere:
Se [tex]p \not \in V(G)[/tex] allora ogni centralizzante contiene almeno un [tex]p[/tex]-Sylow, quindi siccome i [tex]p[/tex]-Sylow sono coniugati, detto [tex]P[/tex] un fissato [tex]p[/tex]-Sylow si ha [tex]\bigcup_{g \in G}g^{-1} C_G(P) g = G[/tex]. I coniugati di [tex]H=C_G(P)[/tex] contengono tutti 1 e sono al più [tex]|G:H|[/tex], per cui coprono al massimo [tex]1+(|H|-1)|G:H| = |G|-|G:H|+1[/tex] elementi. Ne segue che [tex]|G:H|=1[/tex], cioè [tex]C_G(P)=G[/tex].
Osserva che con lo stesso argomento dimostri anche che ogni gruppo finito è generato da rappresentanti di classi di coniugio distinte. Credo sia un po' questa la morale di questa storia. Sinceramente non so se il mio argomento si possa evitare, non me ne vengono in mente altri. Spero di sbagliarmi, mi piacerebbe vedere una dimostrazione alternativa!
Modifico: Ecco, trovato
Questo fatto è stato osservato per la prima volta qui (vedi inizio di pagina 2 del pdf), dove Serre discute interpretazioni in teoria dei numeri e topologia.
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