Sull'insieme delle classi di resto mod p (p numero primo)
Sul testo Geometria di Sernesi (p. 442) leggo:
Z/pZ, l'insieme delle classi di resto modulo un numero primo $p >= 2$, dotato dalle operazioni indotte dalla somma e dal prodotto in Z, è un campo.
Vorrei verificare questo fatto, ma non riesco a completare il ragionamento. Mi potete aiutare? I passaggi che ho scritto finora sono corretti?
1) Indico le classi dei resti con [0], ... [p - i], [p - 1] , dove $1 <= i <= p$.
Userò [p - i] come generico elemento di Z/pZ.
2) Definisco la somma in questo modo: [p - i] + [p - j] = [2p - (i + j)] = [p - (i + j)]
3) Definisco il prodotto: [p - i] [p - j] = [$p^2$ - pj - ip + ij] = [ij]
4) Verifico l'associativa della somma, l'esistenza e l'unicità dell'elemento neutro [0] e dell'opposto [p + i] di [p - i]. (Ometto i passaggi).
5) Faccio lo stesso per il prodotto.
5a) Per l'elemento neutro:
[p - i] [p - j] = [p - i]
[ij] = [p - i]
Perciò: $ { ( ij = ap + r ),( p - i = bp + r ):} $
da cui
ij - ap = p - i - bp
j = $ ((a - b + 1)p) / i - 1 $
Quindi $ ((a - b + 1)p)/i $
deve essere intero per qualsiasi i (quindi per qualsiasi a).
Ne segue b = a + 1, cioè j = - 1, e [p - j] = [p + i] = [1].
L'affermazione alla riga precedente ( "Ne segue b = a + 1...") secondo voi dimostra solo l'esistenza o anche l'unicità dell'elemento neutro? Perché mi pare che in questo modo sto trovando "un" b che individua "un" elemento neutro, mentre la mia conclusione dovrebbe "racchiudere" anche l'unicità di b.
5b) Per l'elemento inverso ho provato un ragionamento analogo a quello sopra, ma non riesco a portarlo a termine.
6) Inoltre non riesco a spiegarmi come mai p deve essere un numero primo.
Grazie, ciao!
Z/pZ, l'insieme delle classi di resto modulo un numero primo $p >= 2$, dotato dalle operazioni indotte dalla somma e dal prodotto in Z, è un campo.
Vorrei verificare questo fatto, ma non riesco a completare il ragionamento. Mi potete aiutare? I passaggi che ho scritto finora sono corretti?
1) Indico le classi dei resti con [0], ... [p - i], [p - 1] , dove $1 <= i <= p$.
Userò [p - i] come generico elemento di Z/pZ.
2) Definisco la somma in questo modo: [p - i] + [p - j] = [2p - (i + j)] = [p - (i + j)]
3) Definisco il prodotto: [p - i] [p - j] = [$p^2$ - pj - ip + ij] = [ij]
4) Verifico l'associativa della somma, l'esistenza e l'unicità dell'elemento neutro [0] e dell'opposto [p + i] di [p - i]. (Ometto i passaggi).
5) Faccio lo stesso per il prodotto.
5a) Per l'elemento neutro:
[p - i] [p - j] = [p - i]
[ij] = [p - i]
Perciò: $ { ( ij = ap + r ),( p - i = bp + r ):} $
da cui
ij - ap = p - i - bp
j = $ ((a - b + 1)p) / i - 1 $
Quindi $ ((a - b + 1)p)/i $
deve essere intero per qualsiasi i (quindi per qualsiasi a).
Ne segue b = a + 1, cioè j = - 1, e [p - j] = [p + i] = [1].
L'affermazione alla riga precedente ( "Ne segue b = a + 1...") secondo voi dimostra solo l'esistenza o anche l'unicità dell'elemento neutro? Perché mi pare che in questo modo sto trovando "un" b che individua "un" elemento neutro, mentre la mia conclusione dovrebbe "racchiudere" anche l'unicità di b.
5b) Per l'elemento inverso ho provato un ragionamento analogo a quello sopra, ma non riesco a portarlo a termine.
6) Inoltre non riesco a spiegarmi come mai p deve essere un numero primo.
Grazie, ciao!
Risposte
Facciamo una cosa alla volta:
Il campo delle classi dei resti modulo p si definisce [tex](\mathbb{Z}_p,+,*)[/tex], dove [tex]\mathbb{Z}_p = \{[0],[1],[2], ... ,[p-1]\}[/tex], e [tex][a]_p = \{a+np | n \in \mathbb{Z}\}[/tex]. L'addizione e la moltiplicazione sono definite come:
[tex]+ : \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}_p[/tex]
[tex]([a],) \vdash [a]+=[a+b][/tex]
[tex]* : \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}_p[/tex]
[tex]([a],) \vdash [a]*=[a*b][/tex]
Prova a verificare che somma e prodotto siano ben definite.
Il campo delle classi dei resti modulo p si definisce [tex](\mathbb{Z}_p,+,*)[/tex], dove [tex]\mathbb{Z}_p = \{[0],[1],[2], ... ,[p-1]\}[/tex], e [tex][a]_p = \{a+np | n \in \mathbb{Z}\}[/tex]. L'addizione e la moltiplicazione sono definite come:
[tex]+ : \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}_p[/tex]
[tex]([a],) \vdash [a]+=[a+b][/tex]
[tex]* : \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}_p[/tex]
[tex]([a],) \vdash [a]*=[a*b][/tex]
Prova a verificare che somma e prodotto siano ben definite.
ciao. procediamo per gradi.
Allora tu sai che $ZZ_n$ è un anello commutativo unitario. (l'elemento nullo è $[0]_n$ , e l'unità $[1]_n$) Si dimostra che
$ZZ_n = {[a]_n| 0<=a
il prodotto da $AA [a]_n,_n in ZZ_n : [a]_n_n=[ab]_n$ (prova prima che $A$ èun anello commutativo unitario con la somma e il prodotto sopra definito).
ora , portiamo un esempio pratico. Prendi ad esempio $ZZ_8$
prendiamo due elementi non zero di $ZZ_8$ ad esempio $[2]_8 ^^ [4]_8$
e notiamo che
$[2]_8 [4]_8=[8]_8=[0]_8$ quindi $ZZ_8$ non è un campo, perché presenta divisori dello zero.
cosa possiamo notare? 8 non è primo.
forti di questo esempio, possiamo "congetturare" che se "n" non è primo, probabilmente $ZZ_n$ non è integro e quindi non può essere un campo.
in realtà ci viene d'aiuto un particolare risultato, che adesso ti espongo.
teorema Sia $ZZ_n$ l'anello degli interi modulo n.
sono equivalenti le seguenti :
a) $n$ è primo.
b) $ZZ_n$ , con $n$ primo. E' un campo.
c) $ZZ_n$ , con $n$ primo. E' integro.
di seguito ti riporto la dimostrazione.
ciao
Allora tu sai che $ZZ_n$ è un anello commutativo unitario. (l'elemento nullo è $[0]_n$ , e l'unità $[1]_n$) Si dimostra che
$ZZ_n = {[a]_n| 0<=a
il prodotto da $AA [a]_n,_n in ZZ_n : [a]_n_n=[ab]_n$ (prova prima che $A$ èun anello commutativo unitario con la somma e il prodotto sopra definito).
ora , portiamo un esempio pratico. Prendi ad esempio $ZZ_8$
prendiamo due elementi non zero di $ZZ_8$ ad esempio $[2]_8 ^^ [4]_8$
e notiamo che
$[2]_8 [4]_8=[8]_8=[0]_8$ quindi $ZZ_8$ non è un campo, perché presenta divisori dello zero.
cosa possiamo notare? 8 non è primo.
forti di questo esempio, possiamo "congetturare" che se "n" non è primo, probabilmente $ZZ_n$ non è integro e quindi non può essere un campo.
in realtà ci viene d'aiuto un particolare risultato, che adesso ti espongo.
teorema Sia $ZZ_n$ l'anello degli interi modulo n.
sono equivalenti le seguenti :
a) $n$ è primo.
b) $ZZ_n$ , con $n$ primo. E' un campo.
c) $ZZ_n$ , con $n$ primo. E' integro.
di seguito ti riporto la dimostrazione.
ciao
Kashaman attenzione che scrivere [tex]\forall a,b \in \mathbb{Z} : [a]_n +[n]_n \equiv [a+b]_n[/tex] non è corretto.
Se inizi con gli interi allora devi continuare con essi:
[tex]\forall a,a^',b,b^' \in \mathbb{Z}[/tex]
se [tex]a \equiv a^' _{(mod n)}[/tex] e [tex]b \equiv b^' _{(mod n)}[/tex] allora [tex]a + b \equiv a^' + b^' _{(mod n)}[/tex]
oppure
[tex]\forall [a]_n,_b \in \mathbb{Z}_n : [a]_n + _n = [a+b]_n[/tex].
Stessa cosa per l'operazione di moltiplicazione
Se inizi con gli interi allora devi continuare con essi:
[tex]\forall a,a^',b,b^' \in \mathbb{Z}[/tex]
se [tex]a \equiv a^' _{(mod n)}[/tex] e [tex]b \equiv b^' _{(mod n)}[/tex] allora [tex]a + b \equiv a^' + b^' _{(mod n)}[/tex]
oppure
[tex]\forall [a]_n,_b \in \mathbb{Z}_n : [a]_n + _n = [a+b]_n[/tex].
Stessa cosa per l'operazione di moltiplicazione
correggo la svista
Grazie a entrambi, intanto, per l'aiuto.
@Gundam:
"Ben definite" sono le operazioni univocamente definite per ogni coppia di elementi dell'insieme? In questo caso, direi che:
1) La somma è definita perché esiste a + b per ogni coppia di numeri a, b: quindi esiste anche [a + b]
2) E' inoltre ben definita perché esiste un solo resto di (a + b) / p.
Lo stesso vale per il prodotto.
@Kashman: conosco pochissimo di algebra (sono autodidatta) e quindi ho bisogno di stampare il post per leggerlo con calma. Grazie!
@Gundam:
"GundamRX91":
Prova a verificare che somma e prodotto siano ben definite.
"Ben definite" sono le operazioni univocamente definite per ogni coppia di elementi dell'insieme? In questo caso, direi che:
1) La somma è definita perché esiste a + b per ogni coppia di numeri a, b: quindi esiste anche [a + b]
2) E' inoltre ben definita perché esiste un solo resto di (a + b) / p.
Lo stesso vale per il prodotto.
@Kashman: conosco pochissimo di algebra (sono autodidatta) e quindi ho bisogno di stampare il post per leggerlo con calma. Grazie!
jitter se vuoi puoi anche scaricare la dispensa del nostro docente: http://matematica.unica.it/fileadmin/documenti/didattica/algebra1.pdf, che è molto discorsiva, quindi potrebbe fare al tuo caso
"GundamRX91":
Prova a verificare che somma e prodotto siano ben definite.
... allora la risposta la trovo nel post di Kashaman:
"Kashaman":
tali definizioni sono ben poste perché in Z valgono i seguenti fatti :
1) se a≡b(modn) e c≡d(modn) allora a+c≡b+d(modn) (prove it!)
2) se a≡b(modn) e c≡d(modn) allora ac≡bc(modn) (prove it!)
perché si può star tranquilli che il risultato della somma sia indipendente dai rappresentanti scelti.
----------------------------
@Kashaman: sei stato chiarissimo e la questione del modulo-numero primo l'ho capita.
Non mi è chiaro invece questo passaggio (che era proprio la questione dell'elemento inverso):
"Kashaman":
essendo n primo si può notare che U(Zn)=Zn∖{0} quindi gli elementi invertibili di Zn sono tutti meno che lo zero
Non conosco il significato di U(Zn)...
Ho visto i link che mi avete fornito, dove c'è una dimostrazione che rimanda però a una proposizione che non visualizzo.
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Avrei anche altre 2 domande (scusate la pappardella
):1) Sernesi annovera tra le proprietà del campo la legge di annullamento del prodotto, ma altri autori - se non sbaglio - la omettono. Perché? Segue da altre proprietà? Non è necessaria per alcune teorie?
2) L'altra domanda è sull'unicità dell'elemento neutro.
SE vale la legge di annullamento del prodotto, è garantita l'unicità dell'elemento neutro. Infatti, se u e u' sono due elementi neutri: a = au = au', quindi a(u - u') = 0. Per l'annullamento del prodotto, ed essendo a diverso da 0, u' = u.
In strutture dove in generale non è soddisfatta la legge di annullamento del prodotto (quindi in insiemi che presentano divisori dello zero), potrei invece ammettere più elementi neutri diversi? Non è il caso di Zn, ma è una domanda generale.
In effetti, io davo per scontata l'unicità, ma rileggendo anche, per esempio, la definizione di gruppo, non è richiesta...
"jitter":
perché si può star tranquilli che il risultato della somma sia indipendente dai rappresentanti scelti.
si ma va provato
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@Kashaman: sei stato chiarissimo e la questione del modulo-numero primo l'ho capita.
Non mi è chiaro invece questo passaggio (che era proprio la questione dell'elemento inverso):
"Kashaman":
essendo n primo si può notare che U(Zn)=Zn∖{0} quindi gli elementi invertibili di Zn sono tutti meno che lo zero
Non conosco il significato di U(Zn)...
è l'insieme degli elementi invertibili di $ZZ_n$
.............................................
In effetti, io davo per scontata l'unicità, ma rileggendo anche, per esempio, la definizione di gruppo, non è richiesta...
Sbagli, per i gruppi l'elemento neutro è unico.
così pure per gli anelli, se sono unitari.
Infatti, se u e u' sono due elementi neutri: a = au = au', quindi a(u - u') = 0. Per l'annullamento del prodotto, ed essendo a diverso da 0, u' = u
usare la legge di annullamento del prodotto sotto intende che $a$ sia invertibile!
e che quindi l'anello $A$ è unitario,ma sappiamo che $1_A$ è unica!
quindi il fatto che $au=au'=> u=u'$ è ovvio e vale per qualsiasi $u,u' in A$.
si chiama legge di cancellazione.
Non conosco il significato di U(Zn)...
è l'insieme degli elementi invertibili di $ZZ_n$
"jitter":
Kashaman ha scritto:
essendo n primo si può notare che U(Zn)=Zn∖{0} quindi gli elementi invertibili di Zn sono tutti meno che lo zero
Ma in questo modo (considerando le 2 citazioni sopra) non si ha un circolo vizioso?
.............................................
Sbagli, per i gruppi l'elemento neutro è unico.
così pure per gli anelli, se sono unitari.
Adesso è chiaro!
....................................................................................
Usare la legge di annullamento del prodotto sotto intende che $a$ sia invertibile!.[/quote][/quote]
Non riesco a capire/dimostrare questa implicazione.... sei a autorizzato a usare il martello:
"jitter":
Ma in questo modo (considerando le 2 citazioni sopra) non si ha un circolo vizioso?
quali assiomi soddisfa un campo, me li elenchi?
Non riesco a capire/dimostrare questa implicazione.... sei a autorizzato a usare il martello:
qui
quali assiomi soddisfa un campo, me li elenchi?
1) Somma: associativa; elemento neutro; elemento opposto; commutativa
2) Prodotto: associativa; elemento neutro; elemento inverso; commutativa
3) Distributiva della somma rispetto al prodotto
4) Annullamento del prodotto
possiamo dire più brevemente che :
$K$ è un campo se
1) $K$ è un anello.
2) $K$ è integro
3)$K$ è commutativo.
4) se ogni elemento di $K$ diverso da zero è invertibile.
$K$ è un campo se
1) $K$ è un anello.
2) $K$ è integro
3)$K$ è commutativo.
4) se ogni elemento di $K$ diverso da zero è invertibile.
Ok, ci sono...
quindi, abbiamo visto che gli elementi di $ZZ_p$ sono invertibili tutti meno che lo zero (è dovuto al fatto che in $ZZ_n$ un elemento è invertibile sse $(a,n)=1$).
sappiamo che se un elemento è invertibile allora è regolare (cioè non è un divisore dello zero)
quindi $ZZ_p$ è integro.(perché tutti i suoi elementi sono regolari!!).
$ZZ_p$ è un anello, è commutativo. segue allora che $ZZ_p$ è un campo.
è chiaro? ...o non sono stato abbastanza esauriente?
sappiamo che se un elemento è invertibile allora è regolare (cioè non è un divisore dello zero)
quindi $ZZ_p$ è integro.(perché tutti i suoi elementi sono regolari!!).
$ZZ_p$ è un anello, è commutativo. segue allora che $ZZ_p$ è un campo.
è chiaro? ...o non sono stato abbastanza esauriente?
"Kashaman":
è dovuto al fatto che in $ZZ_n$ un elemento è invertibile sse $(a,n)=1$
Era questo il pezzo che mi mancava! Grazie, sei stato esauriente e gentile a seguire tutto il post
prego, è stato un piacere jitter
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