Sulla funzione Zeta di Riemann
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi perchè la funzione Zeta di Riemann si azzera in corrispondenza degli interi pari negativi ? Ho cercato in rete, ma ho trovato soltanto che vengono chiamati "zeri banali" della funzione e, talvolta, si dice che la cosa è "evidente". Purtroppo a me non appare così "evidente" e, chiedendo scusa della mia incapacità, chiedo aiuto al Forum ... grazie
Risposte
Ciao, il motivo è molto semplice.
Hai che la funzione zeta di Riemann è inizialmente definita sul semipiano di parte reale \( \Re(s) > 1 \). Ed è definita in questa regione da
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \]
Segue chiaramente dalla definizione della zeta che quando \( \Re(s) > 1 \) allora non possiede zeri.
Si può dimostrare che la zeta si prolunga meromorficamente a tutto \( \mathbb{C} \) e rispetta la seguente equazione funzionale
\[ \pi^{-s/2} \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) \zeta(s) = \pi^{- \frac{1-s}{2} } \Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right) \zeta(1-s) \]
che può anche prendere la forma
\[ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) \]
Ora considera un momento \( \Re(s) < 0 \). Per quanto detto sopra hai chiaramente che \( \zeta(1-s) \neq 0 \), e \( \Gamma(1-s) \neq 0 \). Chiaramente \(2^s \neq 0 \) e \( \pi^{s-1} \neq 0 \). Dunque resta a vedere quando \( \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) \) si annulla, sorpresa sorpresa il seno si annulla esattamente in \( s=-2,-4,-6,-8,\ldots \).
Hai che la funzione zeta di Riemann è inizialmente definita sul semipiano di parte reale \( \Re(s) > 1 \). Ed è definita in questa regione da
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \]
Segue chiaramente dalla definizione della zeta che quando \( \Re(s) > 1 \) allora non possiede zeri.
Si può dimostrare che la zeta si prolunga meromorficamente a tutto \( \mathbb{C} \) e rispetta la seguente equazione funzionale
\[ \pi^{-s/2} \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) \zeta(s) = \pi^{- \frac{1-s}{2} } \Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right) \zeta(1-s) \]
che può anche prendere la forma
\[ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) \]
Ora considera un momento \( \Re(s) < 0 \). Per quanto detto sopra hai chiaramente che \( \zeta(1-s) \neq 0 \), e \( \Gamma(1-s) \neq 0 \). Chiaramente \(2^s \neq 0 \) e \( \pi^{s-1} \neq 0 \). Dunque resta a vedere quando \( \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) \) si annulla, sorpresa sorpresa il seno si annulla esattamente in \( s=-2,-4,-6,-8,\ldots \).
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