Sulla costruzione degli insiemi numerici e loro struttura
Apro qui una discussione che prende origine da una questione trattata qui.
Il problema di fondo che mi pongo è capire come nascono i vari insiemi numerici e come essi vengano dotati di una struttura algebrica. Premetto che la questione è interessante dal mio punto di vista, anche perchè i corsi di base che ho seguito in questo primo semestre di vita universitaria hanno calcato abbastanza la mano su questo aspetto.
Cerchiamo dunque di fare un po' di ordine.
I. Partiamo da $NN$. $NN$ noi lo abbiamo definito assiomaticamente, nel senso che i cinque assiomi di Peano illustrano le proprietà che detto insieme deve avere. Inoltre, il principio di induzione matematica (che poi è il V assioma di Peano), se enunciato nella forma relativa ad un sottoinsieme $A subseteq NN$, garantisce la categoricità del modello: in poche parole, esiste uno e un solo insieme che soddisfa quei cinque assiomi, ed è proprio $NN$ che noi tutti conosciamo.
II. Su $ZZ$ e su $QQ$ si va abbastanza tranquilli: essi nascono (almeno così abbiamo visto noi) come insiemi quozienti, rispettivamente di $NNxxNN//sigma$ e di $(ZZxxZZ-{0})//rho$ dove $sigma$ e $rho$ sono opportune relazioni di equivalenza.
Il bello viene comunque con $RR$. Varie e diverse sono le possibili costruzioni di $RR$, anche se -penso- siano tutte equivalenti tra loro.
1. Un primo modo, algebrico e analitico insieme, è quello di ottenere $RR$ quozientando $QQ$ rispetto alle successioni di Cauchy: ho solo sentito questo fatto, per cui se qualcuno di voi è più esperto e vuole illustrare la procedura un po' più nei dettagli è il benvenuto.
2. Un secondo modo, geometrico, è quello di considerare i numeri reali come punti di una retta. Qui entrano in gioco i famosi assiomi di continuità di Hilbert (proprio H. ne assunse due fra i molti: ovvero continuità di Dedekind e assioma di Archimede).
L'assioma di continuità di Dedekind, in assoluto il più forte fra le altre varie forme, afferma:
"Consideriamo l'insieme dei punti ${l}$ di una data retta $l$. Sia detto insieme l'unione disgiunta di due sottoinsiemi $Sigma_1$ e $Sigma_2$ tali che:
a. $Sigma_1$ e $Sigma_2$ siano disgiunti;
b. nessun punto di $Sigma_j$ (con $j=1,2$) giaccia fra due punti di $Sigma_j$ (con $j=2,1$). Allora, esiste uno e un solo punto $O$ su $l$ tale che uno dei due sottoinsiemi sia una semiretta di origine $O$ e l'altro il suo complementare".
Insomma, per farla breve: Dedekind garantisce che la retta non ha buchi. Immagino che a questo si riferisse Martino nel post di cui sopra.
3. Equivalentemente a quanto fatto in 2) si può tentare la costruzione di $RR$ attraverso l'assioma dell'estremo superiore (che appunto si dimostra essere equivalente a quello di Dedekind nella forma enunciata sopra). "Ogni sottoinsieme non vuoto e ordinato di numeri reali ammette un unico estremo superiore" (che, per capirci, sarebbe il punto $O$ di separazione nell'enunciato di Dedekind). Un numero reale può dunque essere visto come il $"sup"$ di un opportuno insieme di razionali (e.g., $sqrt2="sup " {q in QQ " tali che " q^2<2"}$).
E' d'obbligo un'ulteriore precisazione circa l'assioma di Dedekind. Nei Grundlagen (3° capitolo), Hilbert parla del calcolo coi segmenti, cioè introduce le operazioni di somma e prodotto tra segmenti: in questo modo i segmenti di una retta diventano un campo ordinato.
Se si aggiunge l'assioma di Dedekind, questo campo risulta isomorfo a $RR$. Non solo, Dedekind garantisce (come faceva l'induzione per $NN$) la categoricità del modello (che è poi l'usuale piano cartesiano, $RR^2$ dove c'è una biiezione tra punti del piano e coppie ordinate di numeri reali).
Questo conclude le mie conoscenze circa la costruzione di $RR$. Passiamo a $CC$. Anche $CC$ presenta varie costruzioni: lo si può vedere come (l'anello) quoziente di $RR[x]//(x^2+1)$, dove $(x^2+1)$ è l'ideale principale generato da $x^2+1$.
Si può vedere anche come estensione algebrica di $RR$ (ma questo non lo abbiamo visto a lezione, per cui non so benissimo che cosa si intenda: se aggiungo $i$ ad $RR$ ottengo $CC$ che è algebricamente chiuso, ma ripeto, non abbiamo visto estensioni di campi).
Immagino che esistano molte altre versioni di costruzione degli insiemi numerici. Ad esempio, suppongo che un ruolo chiave per $RR$ sia giocato anche da Bolzano-Weierstrass (sulle successioni limitate) e dal teorema secondo cui "Ogni insieme infinito e limitato ha punto di accumulazione".
Chiunque voglia contribuire a questa sorta di "censimento" (sulla scia di quello iniziato da alvinlee88, che spero non me ne voglia per aver preso ispirazione dal suo post di sopra) è ovviamente benvenuto.
P.S. Dimenticavo: ho postato in Algebra perchè la discussione precedente è nata in questa sezione: se ritenete più opportuno spostarla ditelo pure e la spostiamo. Perdonate, infine, il mio essere estremamente prolisso.
Il problema di fondo che mi pongo è capire come nascono i vari insiemi numerici e come essi vengano dotati di una struttura algebrica. Premetto che la questione è interessante dal mio punto di vista, anche perchè i corsi di base che ho seguito in questo primo semestre di vita universitaria hanno calcato abbastanza la mano su questo aspetto.
Cerchiamo dunque di fare un po' di ordine.
I. Partiamo da $NN$. $NN$ noi lo abbiamo definito assiomaticamente, nel senso che i cinque assiomi di Peano illustrano le proprietà che detto insieme deve avere. Inoltre, il principio di induzione matematica (che poi è il V assioma di Peano), se enunciato nella forma relativa ad un sottoinsieme $A subseteq NN$, garantisce la categoricità del modello: in poche parole, esiste uno e un solo insieme che soddisfa quei cinque assiomi, ed è proprio $NN$ che noi tutti conosciamo.
II. Su $ZZ$ e su $QQ$ si va abbastanza tranquilli: essi nascono (almeno così abbiamo visto noi) come insiemi quozienti, rispettivamente di $NNxxNN//sigma$ e di $(ZZxxZZ-{0})//rho$ dove $sigma$ e $rho$ sono opportune relazioni di equivalenza.
Il bello viene comunque con $RR$. Varie e diverse sono le possibili costruzioni di $RR$, anche se -penso- siano tutte equivalenti tra loro.
1. Un primo modo, algebrico e analitico insieme, è quello di ottenere $RR$ quozientando $QQ$ rispetto alle successioni di Cauchy: ho solo sentito questo fatto, per cui se qualcuno di voi è più esperto e vuole illustrare la procedura un po' più nei dettagli è il benvenuto.
2. Un secondo modo, geometrico, è quello di considerare i numeri reali come punti di una retta. Qui entrano in gioco i famosi assiomi di continuità di Hilbert (proprio H. ne assunse due fra i molti: ovvero continuità di Dedekind e assioma di Archimede).
L'assioma di continuità di Dedekind, in assoluto il più forte fra le altre varie forme, afferma:
"Consideriamo l'insieme dei punti ${l}$ di una data retta $l$. Sia detto insieme l'unione disgiunta di due sottoinsiemi $Sigma_1$ e $Sigma_2$ tali che:
a. $Sigma_1$ e $Sigma_2$ siano disgiunti;
b. nessun punto di $Sigma_j$ (con $j=1,2$) giaccia fra due punti di $Sigma_j$ (con $j=2,1$). Allora, esiste uno e un solo punto $O$ su $l$ tale che uno dei due sottoinsiemi sia una semiretta di origine $O$ e l'altro il suo complementare".
Insomma, per farla breve: Dedekind garantisce che la retta non ha buchi. Immagino che a questo si riferisse Martino nel post di cui sopra.
3. Equivalentemente a quanto fatto in 2) si può tentare la costruzione di $RR$ attraverso l'assioma dell'estremo superiore (che appunto si dimostra essere equivalente a quello di Dedekind nella forma enunciata sopra). "Ogni sottoinsieme non vuoto e ordinato di numeri reali ammette un unico estremo superiore" (che, per capirci, sarebbe il punto $O$ di separazione nell'enunciato di Dedekind). Un numero reale può dunque essere visto come il $"sup"$ di un opportuno insieme di razionali (e.g., $sqrt2="sup " {q in QQ " tali che " q^2<2"}$).
E' d'obbligo un'ulteriore precisazione circa l'assioma di Dedekind. Nei Grundlagen (3° capitolo), Hilbert parla del calcolo coi segmenti, cioè introduce le operazioni di somma e prodotto tra segmenti: in questo modo i segmenti di una retta diventano un campo ordinato.
Se si aggiunge l'assioma di Dedekind, questo campo risulta isomorfo a $RR$. Non solo, Dedekind garantisce (come faceva l'induzione per $NN$) la categoricità del modello (che è poi l'usuale piano cartesiano, $RR^2$ dove c'è una biiezione tra punti del piano e coppie ordinate di numeri reali).
Questo conclude le mie conoscenze circa la costruzione di $RR$. Passiamo a $CC$. Anche $CC$ presenta varie costruzioni: lo si può vedere come (l'anello) quoziente di $RR[x]//(x^2+1)$, dove $(x^2+1)$ è l'ideale principale generato da $x^2+1$.
Si può vedere anche come estensione algebrica di $RR$ (ma questo non lo abbiamo visto a lezione, per cui non so benissimo che cosa si intenda: se aggiungo $i$ ad $RR$ ottengo $CC$ che è algebricamente chiuso, ma ripeto, non abbiamo visto estensioni di campi).
Immagino che esistano molte altre versioni di costruzione degli insiemi numerici. Ad esempio, suppongo che un ruolo chiave per $RR$ sia giocato anche da Bolzano-Weierstrass (sulle successioni limitate) e dal teorema secondo cui "Ogni insieme infinito e limitato ha punto di accumulazione".
Chiunque voglia contribuire a questa sorta di "censimento" (sulla scia di quello iniziato da alvinlee88, che spero non me ne voglia per aver preso ispirazione dal suo post di sopra) è ovviamente benvenuto.
P.S. Dimenticavo: ho postato in Algebra perchè la discussione precedente è nata in questa sezione: se ritenete più opportuno spostarla ditelo pure e la spostiamo. Perdonate, infine, il mio essere estremamente prolisso.
Risposte
1. Un primo modo, algebrico e analitico insieme, è quello di ottenere [tex]\mathbb R[/tex] quozientando ℚ rispetto alle successioni di Cauchy: ho solo sentito questo fatto, per cui se qualcuno di voi è più esperto e vuole illustrare la procedura un po' più nei dettagli è il benvenuto.
La sostanza del ragionamento è (dovrebbe essere) prendere [tex]\mathsf{Cauchy}(\mathbb Q)\big/\mathsf{Zero}(\mathbb Q)[/tex] (successioni di Cauchy modulo successioni infinitesime): la costruzione fatta con tutti i crismi può essere trovata qui (penso sia stata mutuata dal caro vecchio Rudin).
Mi unisco alla discussione con una domanda: il procedimento per ottenere [tex]\overline X[/tex] (il completamento di [tex]X[/tex]) si generalizza da quello precedente: [tex]\overline X =\mathsf{Cauchy}(X)\big/\mathsf{Zero}(X)[/tex]. Ma non è l'unico modo. Per esempio, se consideriamo l'anello dei polinomi nella variabile [tex]T[/tex] lo spazio (ultra)metrico (con la norma [tex]T-[/tex]adica) delle serie formali a coefficienti in un anello integro, [tex]K [\![ T ]\!][/tex], è il completamento alla Cauchy di [tex]K\left[T\right][/tex], che si ottiene però anche con il limite proiettivo
[tex]K [\![ T ]\!]=\displaystyle \varprojlim_{i\in\mathbb N} K[T]\big/(T^i)[/tex]
(i [tex](T^i)[/tex] sono gli ideali potenza di [tex]T[/tex]).
Ora chiedo: il completamento di uno spazio metrico è sempre ottenibile con un procedimento di limite proiettivo?
Aggiungo un po' di carne al fuoco, secondo me val la pena, e non si va troppo OT.
Si può senz'altro dire che $RR$ è il completamento di $QQ$.
Ricordiamo che, dato uno spazio metrico, esiste il suo completamento, ossia, alla buona, uno spazio metrico completo che contiene un denso isomorfo allo spazio di partenza.
Vero questo risultato, allora si definisce $RR$ come il completamento di $QQ$. Ma la dimostrazione che io conosco di questo teorema sfrutta difatto il fatto che $RR$ è il completamento di $QQ$, insomma il banale cane che si morde la coda.
Fin'ora ho risolto così: definisco $QQ$, definisco $RR$, ad esempio con le sezioni di Dedekind.
Quindi dimostro il teorema di completezza, che in un certo senso mi permette di generalizzare il risultato a tutti i metrici. In particolare (ovviamente) riotteniamo che $RR$ è il completamento di $QQ$.
E' così? O c'è un modo di dimostrare il teorema di completezza senza sfruttare le proprietà di $RR$?
P.S: se sono OT creo una nuova discussione.
Si può senz'altro dire che $RR$ è il completamento di $QQ$.
Ricordiamo che, dato uno spazio metrico, esiste il suo completamento, ossia, alla buona, uno spazio metrico completo che contiene un denso isomorfo allo spazio di partenza.
Vero questo risultato, allora si definisce $RR$ come il completamento di $QQ$. Ma la dimostrazione che io conosco di questo teorema sfrutta difatto il fatto che $RR$ è il completamento di $QQ$, insomma il banale cane che si morde la coda.
Fin'ora ho risolto così: definisco $QQ$, definisco $RR$, ad esempio con le sezioni di Dedekind.
Quindi dimostro il teorema di completezza, che in un certo senso mi permette di generalizzare il risultato a tutti i metrici. In particolare (ovviamente) riotteniamo che $RR$ è il completamento di $QQ$.
E' così? O c'è un modo di dimostrare il teorema di completezza senza sfruttare le proprietà di $RR$?
P.S: se sono OT creo una nuova discussione.
Grandioso, abbiamo scritto contemporaneamente.
[OT]
Per parlare di successioni di Cauchy serve una metrica su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex]. Per parlare di metrica su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] (o su qualunque altro insieme) occorrono i reali non negativi, ossia [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Quindi affermare che si "costruisce" [tex]$\mathbb{R}$[/tex] come completamento metrico di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] mi pare azzardato... Al massimo si dimostra che [tex]$\mathbb{R}$[/tex] è il completamento metrico di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex].
[/OT]
La costruzione di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] si può fare anche usando le sezioni di Dedekind in modo semplificato.
L'ho spiegato tanto tempo fa in qualche mio post... Ma meglio di questo al momento non trovo.
Per parlare di successioni di Cauchy serve una metrica su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex]. Per parlare di metrica su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] (o su qualunque altro insieme) occorrono i reali non negativi, ossia [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Quindi affermare che si "costruisce" [tex]$\mathbb{R}$[/tex] come completamento metrico di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] mi pare azzardato... Al massimo si dimostra che [tex]$\mathbb{R}$[/tex] è il completamento metrico di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex].
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La costruzione di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] si può fare anche usando le sezioni di Dedekind in modo semplificato.
L'ho spiegato tanto tempo fa in qualche mio post... Ma meglio di questo al momento non trovo.
"Gaal Dornick":
[...]dato uno spazio metrico, esiste il suo completamento, ossia, alla buona, uno spazio metrico completo che contiene un denso isomorfo allo spazio di partenza.
Vedi qui. Attento che lo spazio deve immergersi isometricamente nel suo completamento.
[OT]
No, ho solo trovato e letto tempo fa quelle pagine.
[/OT]
No, ho solo trovato e letto tempo fa quelle pagine.
[/OT]
"gugo82":
[OT]
Per parlare di successioni di Cauchy serve una metrica su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex]. Per parlare di metrica su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] (o su qualunque altro insieme) occorrono i reali non negativi, ossia [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Quindi affermare che si "costruisce" [tex]$\mathbb{R}$[/tex] come completamento metrico di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] mi pare azzardato... Al massimo si dimostra che [tex]$\mathbb{R}$[/tex] è il completamento metrico di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex].
[/OT]
Per parlare di successioni di Cauchy di razionali (da utilizzarsi per definire gli elementi di [tex]\mathbb{R}[/tex] ) è sufficiente una "non metrica" [tex]d(x,y): \mathbb{Q} * \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}[/tex]
Data una successione a(n) di razionali, questa è di Cauchy [tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\forall q > 0, q \in \mathbb{Q} , \exists N \in \mathbb{N} : \forall j,k \in \mathbb{N}, j,k\geqslant N, |a(j)-a(k)|\leqslant q[/tex]
La costruzione di [tex]\mathbb{R}[/tex] può, grosso modo, essere svolta in questo modo (dopo aver definito [tex]\mathbb{Q}[/tex]) :
1. Un numero reale può essere definito come una successione di Cauchy. Si può aggiungere, anzichè parlare astrattamente di oggetti, una notazione che serva solo a ricordare che ciò che interessa della successione di cauchy è la possibilità di avvicinarsi arbitrariamente ad un valore: può essere utile una notazione simile a quella di limite, operazione ovviamente non ancora definita, ad esempio LIM al posto di lim, perchè col senno di poi da questa verrà sostituita.
2. Due numeri reali sono definiti uguali SSE le due successioni di Cauchy sono equivalenti (ad esempio, a(n)=1/n e b(n)=-1/n ). Due succ. di Cauchy a(n) e b(n) si possono dire equivalenti [tex]\Leftrightarrow \forall q > 0, q \in \mathbb{Q} , \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \in \mathbb{N}, n\geqslant N, |a(n)-b(n)|\leqslant q[/tex];
3. Si verifica che tale definizione di uguaglianza sia ben definita (verifichi simmetria, transitività, riflessività);
4. Si definiscono le operazioni aritmetiche tra i numeri reali come operazioni aritmetiche sugli elementi razionali della successione corrispondente. Ad eccezione dell'operazione di reciprocità e, quindi, della divisione, che sono molto più "delicate": una successione di reciproci degli elementi razionali di una successione di Cauchy può non essere più una successione di Cauchy; ad esempio si prenda la successione a(n)=1/n.
5. Si verifica che le operazioni aritmetiche siano ben definite (che sia verificato secondo le definizioni fornite per le operazioni l'assioma di sostituzione).
6. Si definisce la positività dei reali: anche questa è un'operazione molto delicata che non si può basare sulla positività dei razionali elementi della successione di Cauchy. Ad esempio, a(n)=1/n è evidentemente costituita da razionali tutti positivi, eppure è equivalente alla successione di Cauchy costituita da tutti 0.
7. Si definisce l'ordinamento dei reali attraverso la positività;
8. Si verifica la tricotomia dei reali.
9. Si verificano una serie di proprietà algebriche sui reali.
10. Si verifica che è possibile incorporare i razionali tra i reali e che tutto ciò sia coerente: che tutte le proprietà precedentemente definite sui razionali valgono anche se questi sono considerati come successioni di Cauchy.
11. Si definisce il maggiorante di un sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}[/tex] limitato.
12. Si dimostra il teorema di esistenza del sup (cioè che esiste sempre, costruendolo, un oggetto della forma "successione di Cauchy" che abbia le proprietà di sup).
13. Si definiscono le successioni di Cauchy di REALI e si verifica che tutte le propeità su elencate valgano anche per questi nuovi oggetti (di nuovo, in alcuni punti l'operazione è piuttosto complessa).
14. Si definisce l'operazione di lim attraverso le successioni di Cauchy di reali.
15. Si verifica che la notazione introdotta al punto 1 (io ho usato la notazione LIM) sia compatibile con l'operazione di lim sulle successioni di Cauchy di reali.
16. Si sostituisce definitivamente la notazione introdotta al punto 1 potendo affermare, senza circolarità, che un numero reale è il lim di una successione di Cauchy di razionali.
Spero di non aver commesso grossolani errori...
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