Sul logaritmo p-adico
Questo posto potrebbe anche andare nella sezione Analisi, trattandosi di analisi p-adica, ma anche qui non dovrebbe esser fuori posto.
Comunque, ho un esercizio di analisi p-adica in cui non riesco a trovare la strada:
Sia $\Omega$ la chiusura algebrica di $\QQ_p$, $M$ l'ideale massimale.
e' in tre step
1) mostrare che $\log_p:1+M ->\Omega$ e' suriettiva (so che nel disco di raggio $r=p^{-1/{p-1}}$ ho l'inversa, che e' l'esponenziale).
2) Per $x\in \Omega$ tale che $r<|x-1|_p<1$, che relazione c'e' tra $|x^p-1|_p $ e $|x-1|_p$ ? E che posso dire di $|x^p-1|_p $ se $|x-1|_p = r$?
3) Dimostrare il nucleo$ \log_p $ e' dato dalle radici dell'unita' di $\Omega$ che sono potenze di $p$.
Premetto che non ho indizzi su nessuno dei tre punti per ora..
Comunque, ho un esercizio di analisi p-adica in cui non riesco a trovare la strada:
Sia $\Omega$ la chiusura algebrica di $\QQ_p$, $M$ l'ideale massimale.
e' in tre step
1) mostrare che $\log_p:1+M ->\Omega$ e' suriettiva (so che nel disco di raggio $r=p^{-1/{p-1}}$ ho l'inversa, che e' l'esponenziale).
2) Per $x\in \Omega$ tale che $r<|x-1|_p<1$, che relazione c'e' tra $|x^p-1|_p $ e $|x-1|_p$ ? E che posso dire di $|x^p-1|_p $ se $|x-1|_p = r$?
3) Dimostrare il nucleo$ \log_p $ e' dato dalle radici dell'unita' di $\Omega$ che sono potenze di $p$.
Premetto che non ho indizzi su nessuno dei tre punti per ora..
Risposte
$M$ sara' l'ideale massimale dell'anello degli interi di $\Omega$ giusto?
1) Gli ingredienti sono questi:
Esiste un piccolo disco $D$ intorno lo zero in $M$ tale che il logaritmo e' un
isomorfismo $1+D \rightarrow D'$ dove $D'$ e' qualche altro piccolo disco
intorno $0\in \Omega$. Infatti, l'esponenziale sara' l'applicazione inversa.
Ovviamente, per ogni $y\in \Omega$ esiste $p^n$ tale che $p^ny\in D'$. E' un po' meno
ovvio che per ogni $y\in M$ esiste $p^n$ tale che $(1+y)^{p^n}$ sta in $1+D$.
Usare la parte 2) qua sotto.
2) Suggerimento: con $\epsilon=x-1$ si ha che $x^p-1=(\epsilon+1)^p-1$.
Adesso usare il binomio di Newton.
3) Una direzione e' banale. Per l'altra, se $1+x$ sta nel nucleo del logaritmo
per qualche $x\in M$, anche ogni $p^n$-esima potenza di $1+x$ ha questa
proprieta'. Per $n$ sufficientemente grande pero, $(1+x)^{p^n}$ sta in $1+D$.
1) Gli ingredienti sono questi:
Esiste un piccolo disco $D$ intorno lo zero in $M$ tale che il logaritmo e' un
isomorfismo $1+D \rightarrow D'$ dove $D'$ e' qualche altro piccolo disco
intorno $0\in \Omega$. Infatti, l'esponenziale sara' l'applicazione inversa.
Ovviamente, per ogni $y\in \Omega$ esiste $p^n$ tale che $p^ny\in D'$. E' un po' meno
ovvio che per ogni $y\in M$ esiste $p^n$ tale che $(1+y)^{p^n}$ sta in $1+D$.
Usare la parte 2) qua sotto.
2) Suggerimento: con $\epsilon=x-1$ si ha che $x^p-1=(\epsilon+1)^p-1$.
Adesso usare il binomio di Newton.
3) Una direzione e' banale. Per l'altra, se $1+x$ sta nel nucleo del logaritmo
per qualche $x\in M$, anche ogni $p^n$-esima potenza di $1+x$ ha questa
proprieta'. Per $n$ sufficientemente grande pero, $(1+x)^{p^n}$ sta in $1+D$.
Con un po' di ritardo, grazie mille per l'aiuto Stickelberger!
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