[Suggerimento cercasi] - Esercizio su sottogruppi di Sylow
Ciao a tutti. Ho un problema con il seguente esercizio.
Sia G un gruppo finito e $\phi : G rarr H$ un epimorfismo. Si provi che se P è un p-sottogruppo di Sylow in G, allora $\phi(P)$ è un p-sottogruppo di Sylow in H.
Il mio tentativo di soluzione, o per lo meno di inizio di soluzione è stato il seguente.
|G| = n. Poichè $phi$ è un'applicazione |H|=m, con m$<=$n.
Sia P un p-sottogruppo di Sylow di G. Quindi |P|=$p\^a$ tale che $p\^a$ divide n. Poichè $phi$ è un epimorfismo $\phi(P)$ è un sottogruppo di H. Quindi $|\phi(P)|$ divide m.
Ora dovrei dimostrare che $|\phi(P)|$ è la potenza di un primo p. Non so però come continuare, ne sono tanto meno sicuro che la strada sia quella giusta.
C'è qualcuno che mi potrebbe dare un indizio o un suggerimento? Non vorrei la soluzione. Grazie
Sia G un gruppo finito e $\phi : G rarr H$ un epimorfismo. Si provi che se P è un p-sottogruppo di Sylow in G, allora $\phi(P)$ è un p-sottogruppo di Sylow in H.
Il mio tentativo di soluzione, o per lo meno di inizio di soluzione è stato il seguente.
|G| = n. Poichè $phi$ è un'applicazione |H|=m, con m$<=$n.
Sia P un p-sottogruppo di Sylow di G. Quindi |P|=$p\^a$ tale che $p\^a$ divide n. Poichè $phi$ è un epimorfismo $\phi(P)$ è un sottogruppo di H. Quindi $|\phi(P)|$ divide m.
Ora dovrei dimostrare che $|\phi(P)|$ è la potenza di un primo p. Non so però come continuare, ne sono tanto meno sicuro che la strada sia quella giusta.
C'è qualcuno che mi potrebbe dare un indizio o un suggerimento? Non vorrei la soluzione. Grazie
Risposte
Ciao 
Il mio suggerimento è di usare i primi due teoremi di isomorfismo.
Il mio suggerimento è di usare i primi due teoremi di isomorfismo.
Avevo immaginato che servissero i teoremi di isomorfismo e pensavo più che altro al primo, dato che $\phi$ è un epimorfismo. Il problema è che non so cosa farmene del teorema di isomorfismo. Sul secondo ho qualche perprlessità perchè non vedo niente che sia normale in G. Altro aiutino? 
"Lory314":Il nucleo?
non vedo niente che sia normale in G.
Ci avevo pensato, ma non sapendone determinare gli elementi pensavo fosse inutile. Ho provato cosi' ma non so se e' corretto.
P e' un sottogruppo di G. $N=ker\phi$ e' normale in G. Per il secondo teorema di isomorfismo $\frac{P}{P \nn N} \sim \frac{PN}{N}$.
Per il primo teorema di isomorfismo $\frac{P}{P \nn N} \sim \phi(P)$.
Quindi $|\phi(P)|=|\frac{PN}{N}|=\frac{|P||N|}{|P \nn N||N|}=\frac{|P|}{|P \nn N|}.
Quindi $|P|=p\^\alpha$ divide $|\phi(P)|$ quindi $|\phi(P)| = p\^\beta.$ Ma $\phi(P) $e' sottogruppo di H quindi $\phi(P)$ e' un sottrogruppo di Sylow di H.
Non so quante stupidate ho scritto pero'.
P e' un sottogruppo di G. $N=ker\phi$ e' normale in G. Per il secondo teorema di isomorfismo $\frac{P}{P \nn N} \sim \frac{PN}{N}$.
Per il primo teorema di isomorfismo $\frac{P}{P \nn N} \sim \phi(P)$.
Quindi $|\phi(P)|=|\frac{PN}{N}|=\frac{|P||N|}{|P \nn N||N|}=\frac{|P|}{|P \nn N|}.
Quindi $|P|=p\^\alpha$ divide $|\phi(P)|$ quindi $|\phi(P)| = p\^\beta.$ Ma $\phi(P) $e' sottogruppo di H quindi $\phi(P)$ e' un sottrogruppo di Sylow di H.
Non so quante stupidate ho scritto pero'.
"Lory314":Semmai $|phi(P)|$ divide $|P|$. Da qui deduci che $phi(P)$ è un $p$-sottogruppo. Per concludere che è un $p$-Sylow prendi un $p$-sottogruppo contenente $phi(P)$ e guarda la sua controimmagine, poi usa la massimalità di $P$.
Quindi $|P|=p\^\alpha$ divide $|\phi(P)|$ quindi $|\phi(P)| = p\^\beta.$
Si in effetti la conclusione l'ho scritta un pò di fretta.
Per dimostrare che $\phi(P)$ è un p-Sylow dimostro che il suo ordine è la massima potenza di p. Supponfo per assurdo che esista un K p-sottogruppo di Sylow contenente $\phi(P)$. Quindi $\phi(P)$ è sottogruppo di K, quindi $|K|=|\phi(P)|c_1$; da cui $|K|=|P|c_2$.
Per il primo teorema di isomorfismo $\frac{\phi^{-1}(K)}{N} \sim K$. Quindi $|\frac{\phi^{-1}(K)}{N}|$ = $|K|$. Quindi $|N||P|c_2 = |\phi^{-1}(K)|$.
Segue che $|P|= \frac{|\phi^{-1}(K)|}{|N|c_2}$, quindi $|P|$ divide $|\phi^{-1}(K)|$. Contro la massimalità di $|P|$.
Per dimostrare che $\phi(P)$ è un p-Sylow dimostro che il suo ordine è la massima potenza di p. Supponfo per assurdo che esista un K p-sottogruppo di Sylow contenente $\phi(P)$. Quindi $\phi(P)$ è sottogruppo di K, quindi $|K|=|\phi(P)|c_1$; da cui $|K|=|P|c_2$.
Per il primo teorema di isomorfismo $\frac{\phi^{-1}(K)}{N} \sim K$. Quindi $|\frac{\phi^{-1}(K)}{N}|$ = $|K|$. Quindi $|N||P|c_2 = |\phi^{-1}(K)|$.
Segue che $|P|= \frac{|\phi^{-1}(K)|}{|N|c_2}$, quindi $|P|$ divide $|\phi^{-1}(K)|$. Contro la massimalità di $|P|$.
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