Su sistemi formali e coerenza
Sto leggendo un libro di logica, ad un certo punto dice
la parte blu mi incuriosice un po'... non è sempre vero che "ex falso quodlibet"?
la parte rossa invece si sconvolge parecchio
Qualcuno sa delucidarmi?
Finchè un teorema formale deve rappresentare una teoria intuitiva, è presumibile che i teoremi del sistema rappresentino proposizioni intuitivamente vere. A questo scopo la coerenza è necessaria ma non sufficiente. E' possibile che non tutti i teoremi di un sistema incoerente siano veri, ma non è detto che debbano esserlo tutti i teoremi di un sistema coerente; anzi, è possibile costruire sistemi coerenti i cui teoremi non siano tutti veri. Per esempio si può trovare un calcolo e una formula $F(a)$ tale che $F(n)$ sia un teorema per ogni dato numero $n$ e allo stesso tempo sia un teorema anche "esiste un numero $y$ tale che $text{non-}F(y)$". Si è portati a pensare tuttavia che se $F(n)$ è vero per ogni $n$, allora $EE y text{ non-}F(y)$ debba essere falso.
la parte blu mi incuriosice un po'... non è sempre vero che "ex falso quodlibet"?
la parte rossa invece si sconvolge parecchio
Qualcuno sa delucidarmi?
Risposte
"nato_pigro":
Sto leggendo un libro di logica, ad un certo punto dice
Sarei curioso di sapere quale
Magari in PM 
anzi, è possibile costruire sistemi coerenti i cui teoremi non siano tutti veri.
E' una sciocchezza, a livello formale. Se prendi un modello di una teoria (ad esempio, i reali per la teoria dei campi), tutti i teoremi della teoria sono veri nel modello. Si chiama: teorema di correttezza per la logica del prim'ordine.
Per esempio si può trovare un calcolo e una formula $F(a)$ tale che $F(n)$ sia un teorema per ogni dato numero $n$ e allo stesso tempo sia un teorema anche "esiste un numero $y$ tale che $text{non-}F(y)$". Si è portati a pensare tuttavia che se $F(n)$ è vero per ogni $n$, allora $EE y text{ non-}F(y)$ debba essere falso.
Bah. Just, it doesn't make any sense. Quell'esiste un numero, presuppone un linguaggio in cui il quantificatore sia "qualificato", cioe' abbia un suo dominio di definizione esplicitato, cosa che almeno nella logica del prim'ordine non avviene (e del resto una simile possibilita' provocherebbe una contraddizione...).
Probabilmente, l'autore vuole dire un'altra cosa (ho in mente quale), ma l'ha travestita da paradosso, giusto per scioccare il lettore
"fields":
[quote="nato_pigro"]Sto leggendo un libro di logica, ad un certo punto dice
Sarei curioso di sapere quale
Magari in PM [/quote]Dalla matematica alla filosofia - Hao Wang
"fields":anzi, è possibile costruire sistemi coerenti i cui teoremi non siano tutti veri.
E' una sciocchezza, a livello formale. Se prendi un modello di una teoria (ad esempio, i reali per la teoria dei campi), tutti i teoremi della teoria sono veri nel modello. Si chiama: teorema di correttezza per la logica del prim'ordine.
effettivamente volevo evidenziare quella di frase...
"fields":Per esempio si può trovare un calcolo e una formula $F(a)$ tale che $F(n)$ sia un teorema per ogni dato numero $n$ e allo stesso tempo sia un teorema anche "esiste un numero $y$ tale che $text{non-}F(y)$". Si è portati a pensare tuttavia che se $F(n)$ è vero per ogni $n$, allora $EE y text{ non-}F(y)$ debba essere falso.
Bah. Just, it doesn't make any sense. Quell'esiste un numero, presuppone un linguaggio in cui il quantificatore sia "qualificato", cioe' abbia un suo dominio di definizione esplicitato, cosa che almeno nella logica del prim'ordine non avviene (e del resto una simile possibilita' provocherebbe una contraddizione...).
Probabilmente, l'autore vuole dire un'altra cosa (ho in mente quale), ma l'ha travestita da paradosso, giusto per scioccare il lettore
cosa voleva dire?
cosa voleva dire?
Forse - e gli do' il beneficio del dubbio, anche se, visto quello che ha scritto, non dovrei - voleva affermare che l'aritmetica di Peano PA, che dovrebbe parlare di numeri naturali, ha modelli non standard.
Mi spiego. Gli assiomi di PA sono veri in almeno un modello M che contiene i naturali, ma che non e' isomorfo al modello dei numeri naturali. A questo punto, se aggiungi agli assiomi di PA la lista di assiomi
$Q(0), Q(1), Q(2),...$ e $\exists y \not Q(y)$
dove $Q$ e' un nuovo simbolo per predicato, chiaramente essi possono essere soddisfatti nel modello M esteso con $Q$, poiche' in $M$ ci sono tutti i numeri naturali $0,1,2...$, piu' altri elementi, che possono essere definiti in modo da non soddisfare $Q$.
Quell'$\exists y$ vorrebbe riferirsi ai naturali, visto che e' questa l'interpretazione intesa di $PA$, ma ovviamente, dal punto di vista formale, si riferisce ad altri individui, che naturali non sono.
Però a quanto pare questo signore che ha scritto il libro non è l'ultimo arrivato, se ad esempio la frase blu è così palesemente sbagliata è possibile che l'abbia scritta impunemente?
La frase e' ovviamente sbagliata e insensata. Ma rileggendo il brano che hai riportato, mi sono convinto che la mia interpretazione e' corretta. Il tizio voleva dire qualcosa di analogo a cio' che ho spiegato.
Il fatto e' che parlare di matematica in filosofia comporta sempre rischi di dire idiozie. Cerchi di divulgare qualcosa a chi matematico non e', quindi devi semplificare, approssimare e in ultima analisi dire cose che non sono precise. A volte formuli male una frase... e ne risulta qualcosa di assurdo. Naturalmente, quello che succede e' che molti inesperti non si accorgono dell'errore, o magari lo bollano come una delle tante stranezze dell'astrusa logica
Il fatto e' che parlare di matematica in filosofia comporta sempre rischi di dire idiozie. Cerchi di divulgare qualcosa a chi matematico non e', quindi devi semplificare, approssimare e in ultima analisi dire cose che non sono precise. A volte formuli male una frase... e ne risulta qualcosa di assurdo. Naturalmente, quello che succede e' che molti inesperti non si accorgono dell'errore, o magari lo bollano come una delle tante stranezze dell'astrusa logica
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo