Studio iniettività, suriettività, inversa e app composte
salve ragazzi, ho la seguente applicazione:
$g: x in N -> -x+1 in Z$
Devo dire se è iniettiva e/o suriettiva, devo determinare, ove possibile , la relativa funzione inversa, e poi dovrei esibire tutte le applicazioni composte che è possibile costruire.
Per l'iniettività e la suriettività ho proceduto in questo modo:
$g: N -> Z$ è iniettiva $<=> Per ogni x1,x2 in N, f(x1)=f(x2) => x1 = x2 $
Ho provato a porre:
$x1=1$ e $x2=2$ e ho notato che ad ogni elemento del dominio corrisponde al più un elemento del codominio.
per la suriettività invece :
per x1=2, 1 è immagine di un elemento di N.
è corretto?
Inoltre qualcuno può aiutarmi per definire la funzione inversa e le applicazioni composte?
Grazie
$g: x in N -> -x+1 in Z$
Devo dire se è iniettiva e/o suriettiva, devo determinare, ove possibile , la relativa funzione inversa, e poi dovrei esibire tutte le applicazioni composte che è possibile costruire.
Per l'iniettività e la suriettività ho proceduto in questo modo:
$g: N -> Z$ è iniettiva $<=> Per ogni x1,x2 in N, f(x1)=f(x2) => x1 = x2 $
Ho provato a porre:
$x1=1$ e $x2=2$ e ho notato che ad ogni elemento del dominio corrisponde al più un elemento del codominio.
per la suriettività invece :
per x1=2, 1 è immagine di un elemento di N.
è corretto?
Inoltre qualcuno può aiutarmi per definire la funzione inversa e le applicazioni composte?
Grazie
Risposte
L'iniettività io la verificherei così: a due elementi del dominio diversi devono corrispondere immagini diverse.
E' facile verificare che è iniettiva.
Invece la suriettività non è verificata.
Dobbiamo dire se l'immagine dell'applicazione riempia o meno tutto il codominio; ciò non succede poichè il codominio è riempito per i soli valori negativi e lo zero (che è immagine dell'elemento 1).
Ora siccome che è solamente iniettiva, la funzione non è sicuramente biunivoca, dunque non è invertibile.
Avremmo cercato un'inversa se e solo se fosse stata invertibile, ovvero se e solo se fosse stata biunivoca.
Per cercare funzioni composte, dovresti prendere delle funzioni h che vanno dall'immagine della funzione che abbiamo (che è data da tutti i valori minori o uguali a zero degli interi) ad un codominio. A quel punto potrai comporre le due funzioni e dare almeno una funzione composta.
E' facile verificare che è iniettiva.
Invece la suriettività non è verificata.
Dobbiamo dire se l'immagine dell'applicazione riempia o meno tutto il codominio; ciò non succede poichè il codominio è riempito per i soli valori negativi e lo zero (che è immagine dell'elemento 1).
Ora siccome che è solamente iniettiva, la funzione non è sicuramente biunivoca, dunque non è invertibile.
Avremmo cercato un'inversa se e solo se fosse stata invertibile, ovvero se e solo se fosse stata biunivoca.
Per cercare funzioni composte, dovresti prendere delle funzioni h che vanno dall'immagine della funzione che abbiamo (che è data da tutti i valori minori o uguali a zero degli interi) ad un codominio. A quel punto potrai comporre le due funzioni e dare almeno una funzione composta.
"Simonixx":
L'iniettività io la verificherei così: a due elementi del dominio diversi devono corrispondere immagini diverse.
E' facile verificare che è iniettiva.
Invece la suriettività non è verificata.
Dobbiamo dire se l'immagine dell'applicazione riempia o meno tutto il codominio; ciò non succede poichè il codominio è riempito per i soli valori negativi e lo zero (che è immagine dell'elemento 1).
Ora siccome che è solamente iniettiva, la funzione non è sicuramente biunivoca, dunque non è invertibile.
Avremmo cercato un'inversa se e solo se fosse stata invertibile, ovvero se e solo se fosse stata biunivoca.
Per cercare funzioni composte, dovresti prendere delle funzioni h che vanno dall'immagine della funzione che abbiamo (che è data da tutti i valori minori o uguali a zero degli interi) ad un codominio. A quel punto potrai comporre le due funzioni e dare almeno una funzione composta.
Concordo pienamente con Simone! Come hai fatto tu dimostri che è vera per certi valori,invece devi generalizzare!
Simonixx se ho le seguenti app:
$f: x in Z -> 1/2(x^2-1) in Q$
NON E' INIETTIVA, poichè: A due elementi del codominio(es. -1 e 1) corrisponde la stessa immagine (0)
per la suriettività dovrei verificare che:
Sia $ f: X->Y$ f è suriettiva se $Per ogni y in Y, Esiste x in X : f(x) = y $
Come procedo per la suriettività???
Inoltre posso subito escludere la funzione inversa(non essendo iniettiva, non potrà esser biettiva, quini niente funzione inversa) mentre per le funzioni composte come faccio? Dal post precedente non riesco a capire come costruirle.
Grazie anticipatamente.
$f: x in Z -> 1/2(x^2-1) in Q$
NON E' INIETTIVA, poichè: A due elementi del codominio(es. -1 e 1) corrisponde la stessa immagine (0)
per la suriettività dovrei verificare che:
Sia $ f: X->Y$ f è suriettiva se $Per ogni y in Y, Esiste x in X : f(x) = y $
Come procedo per la suriettività???
Inoltre posso subito escludere la funzione inversa(non essendo iniettiva, non potrà esser biettiva, quini niente funzione inversa) mentre per le funzioni composte come faccio? Dal post precedente non riesco a capire come costruirle.
Grazie anticipatamente.
Ho provato a verificare l'iniettività in questo modo:
$f(a)=f(b)$
$1/2a^2-1/2=1/2b^2-1/2$
$1/2a^2=1/2b^2 => a^2=b^2$
mmm... teoricamente è proprio quello che cerca l'iniettività ma i termini al quadrato che ho alla fine non mi convincono.
$f(a)=f(b)$
$1/2a^2-1/2=1/2b^2-1/2$
$1/2a^2=1/2b^2 => a^2=b^2$
mmm... teoricamente è proprio quello che cerca l'iniettività ma i termini al quadrato che ho alla fine non mi convincono.
E' corretto, la funzione non è iniettiva in quanto a valori distinti devi avere immagini distinte, cosa che invece non succede:
posto $x_1=2$ e $x_2=-2$ segue che $f(2)=3/2$ e $f(-2)=3/2$, e questo succede con ogni coppia $(x,-x)$.
Inoltre la funzione non è neanche suriettiva (prova a pensare alla funzione inversa e al dominio/codominio della funzione stessa).
posto $x_1=2$ e $x_2=-2$ segue che $f(2)=3/2$ e $f(-2)=3/2$, e questo succede con ogni coppia $(x,-x)$.
Inoltre la funzione non è neanche suriettiva (prova a pensare alla funzione inversa e al dominio/codominio della funzione stessa).
Per curiosità ho provato a calcolare la funzione inversa in questo modo:
$f(x)=y$
$1/2(x^2-1)=y => 1/2x^2=y+1/2 => x^2=2y+1 => x=sqrt(2y+1)$
( Non sò se va bene ).
$ f^-1: x in Z -> sqrt(2x+1) in Q$
$f(x)=y$
$1/2(x^2-1)=y => 1/2x^2=y+1/2 => x^2=2y+1 => x=sqrt(2y+1)$
( Non sò se va bene ).
$ f^-1: x in Z -> sqrt(2x+1) in Q$
Si è giusta. Quindi cosa ne deduci?
Che non essendo iniettiva l'applicazione, non esiste inversa ?
Non esiste l'inversa non solo perchè non è biunivoca, ma perchè non è ben definita la nostra funzione inversa: voglio dire la nostra funzione inversa sarebbe $f : Q -> Z$ e definita come un radicale non è possibile che abbia immagini fra gli interi, poichè nessun radicale (quindi numeri anche irrazionali) esiste in quel campo, ma solamente in campi più estesi, come quello dei numeri reali.
Era questo che dovevi evincere svolgendo quel che hai svolto prima...
p.s.:
Per comporre delle funzioni, come ho detto prima, devi riuscire a conoscere quale sia l'effettiva immagine della funzione che stai analizzando. Ovvero, se essa non è suriettiva non ha come immagine tutto il codominio, ma solo una parte. Nel caso in cui invece è suriettiva, avrà come immagine tutto il codominio. A quel punto per avere una funzione composta devi trovare altrettante funzioni che abbiano un qualunque codominio tu voglia (basta che sia ben definita l'applicazione) e come dominio invece l'effettiva immagine della funzione che hai per prima. Fatto ciò puoi comporre questa con tutte quelle che hai costruito ottenendo delle funzioni composte ben definite.
Per come ho scritto più sopra la nostra funzione H sarà del tipo $g * f$, ovvero prima si applica f, poi si applica g. A quel punto facendo così hai come dominio della funzione composta il dominio di f, come codominio l'immagine di g.
Se invece vuoi avere funzioni composte del tipo $f * g$ devi costruire delle funzioni ben definite con un qualsiasi dominio, e come codominio il dominio stesso di f. A quel punto la funzione composta avrà come dominio il dominio dell'applicazione costruita, come codominio l'immagine di f.
Siccome che è un lavoro "costruttivo" e non ha bisogno di particolari attenzioni, puoi riuscirci anche da solo... sempre stando attendo che ciò che costruisci sia ben definito (ovvero che a due immagini differenti non corrisponda uno stesso elemento del dominio; poichè un elemento del dominio ha al più un'immagine, mentre un'immagine può avere un qualsiasi numero di elementi, differenti tra loro, che la raggiungano...)
Era questo che dovevi evincere svolgendo quel che hai svolto prima...
p.s.:
Per comporre delle funzioni, come ho detto prima, devi riuscire a conoscere quale sia l'effettiva immagine della funzione che stai analizzando. Ovvero, se essa non è suriettiva non ha come immagine tutto il codominio, ma solo una parte. Nel caso in cui invece è suriettiva, avrà come immagine tutto il codominio. A quel punto per avere una funzione composta devi trovare altrettante funzioni che abbiano un qualunque codominio tu voglia (basta che sia ben definita l'applicazione) e come dominio invece l'effettiva immagine della funzione che hai per prima. Fatto ciò puoi comporre questa con tutte quelle che hai costruito ottenendo delle funzioni composte ben definite.
Per come ho scritto più sopra la nostra funzione H sarà del tipo $g * f$, ovvero prima si applica f, poi si applica g. A quel punto facendo così hai come dominio della funzione composta il dominio di f, come codominio l'immagine di g.
Se invece vuoi avere funzioni composte del tipo $f * g$ devi costruire delle funzioni ben definite con un qualsiasi dominio, e come codominio il dominio stesso di f. A quel punto la funzione composta avrà come dominio il dominio dell'applicazione costruita, come codominio l'immagine di f.
Siccome che è un lavoro "costruttivo" e non ha bisogno di particolari attenzioni, puoi riuscirci anche da solo... sempre stando attendo che ciò che costruisci sia ben definito (ovvero che a due immagini differenti non corrisponda uno stesso elemento del dominio; poichè un elemento del dominio ha al più un'immagine, mentre un'immagine può avere un qualsiasi numero di elementi, differenti tra loro, che la raggiungano...)
E' vero, ha ragione simonixx, la funzione inversa che hai indicato ha come dominio l'insieme dei razionali e come codominio l'insieme degli interi (non ci avevo fatto caso 
).
Per il resto concordo con simonixx (quindi con tutto
).
). Per il resto concordo con simonixx (quindi con tutto
).
Simonixx, provavo a studiare la seguente applicazione:
$h: x in Z -> 3|x| in N$, è iniettiva.
verifica:
$f(a)=f(b) => 3|a|=3|b| => |a|=|b|$ ???
Ma non riesco a studiare la suriettività, cioè come faccio a fare una verifica???(come nell'iniettività)?
Inoltre, ho provato a ricavare la funzione inversa in questo modo:
$f(x)=y => 3|x|=y => x=1/3y$
$f^-1: x in N -> x=1/3x in Z$ ottengo un risultato che non è definito in Z ???
$h: x in Z -> 3|x| in N$, è iniettiva.
verifica:
$f(a)=f(b) => 3|a|=3|b| => |a|=|b|$ ???
Ma non riesco a studiare la suriettività, cioè come faccio a fare una verifica???(come nell'iniettività)?
Inoltre, ho provato a ricavare la funzione inversa in questo modo:
$f(x)=y => 3|x|=y => x=1/3y$
$f^-1: x in N -> x=1/3x in Z$ ottengo un risultato che non è definito in Z ???
Gaten non si capisce quale sia il dominio della funzione...
Z, chiedo scusa.
Scusa ma come può essere iniettiva: $f(1)=3$ e $f(-1)=3$ e non è neppure suriettiva in quanto $Imf ={3x : x in NN}$
Iniettività: "a elementi distinti si hanno immagini distinte"
Suriettività: "l'insieme delle immagini corrisponde al dominio della funzione"
nel momento che queste due condizioni non si verificano allora non si può parlare di funzione iniettiva e/o suriettiva.
Iniettività: "a elementi distinti si hanno immagini distinte"
Suriettività: "l'insieme delle immagini corrisponde al dominio della funzione"
nel momento che queste due condizioni non si verificano allora non si può parlare di funzione iniettiva e/o suriettiva.
Per l'iniettività ho scritto una cavolta e lo dimostra il fatto che non esiste inversa.(ho provato a calcolarla nel post precedente), però non riesco a capire la suriettività e la costruzione delle funzioni composte.
Tu hai scritto:
$Imf = {3x : x in N }$ non riesco a capire, qui il dominio della funzione è $Z$, perchè hai scritto $3x: x in N$?
Inoltre come posso esibire esempi di funzioni composte data questa applicazione?
Tu hai scritto:
$Imf = {3x : x in N }$ non riesco a capire, qui il dominio della funzione è $Z$, perchè hai scritto $3x: x in N$?
Inoltre come posso esibire esempi di funzioni composte data questa applicazione?
Scusami ho sbagliato a scrivere, l'insieme delle immagini deve corrispondere al Codominio della funzione e non al dominio, quindi è l'insieme dei numeri naturali.
Per le funzioni composte devi fare in modo che il dominio di una sia il codominio dell'altra, cioè:
sia $f:NN \rightarrow ZZ$ e $g: NN \rightarrow ZZ$
in questo caso $f \circ g$ cioè $(f \circ g)(x)=f(g(x))$ non avrebbe senso in quanto il codominio di $g$ non corrisponde al dominio di $f$, come il viceversa $(g \circ f)(x)=g(f(x))$. Invece se fosse $g:ZZ \rightarrow ZZ$, allora $(g \circ f)(x)=g(f(x))$ funzionerebbe. Ora prova a pensare ad una funzione che si possa comporre con la tua tenendo conto appunto dei rispettivi domini e codomini.
Per le funzioni composte devi fare in modo che il dominio di una sia il codominio dell'altra, cioè:
sia $f:NN \rightarrow ZZ$ e $g: NN \rightarrow ZZ$
in questo caso $f \circ g$ cioè $(f \circ g)(x)=f(g(x))$ non avrebbe senso in quanto il codominio di $g$ non corrisponde al dominio di $f$, come il viceversa $(g \circ f)(x)=g(f(x))$. Invece se fosse $g:ZZ \rightarrow ZZ$, allora $(g \circ f)(x)=g(f(x))$ funzionerebbe. Ora prova a pensare ad una funzione che si possa comporre con la tua tenendo conto appunto dei rispettivi domini e codomini.
Scusami, ma ho un dubbio:
Io ho studiato le funzioni composte in questo modo:
Sia $ g: A->B$ e $f:B->C $ chiameremo funzione composta l'applicazione $ f @ g: A->C, (f @ g)(x)=f(g(x)) , per ogni x in A $
applicando prima g ad x e quindi applicando f al risultato g(x).
Tu perchè hai scritto:
$f:N→Z e g:N→Z$ ???
Io ho studiato le funzioni composte in questo modo:
Sia $ g: A->B$ e $f:B->C $ chiameremo funzione composta l'applicazione $ f @ g: A->C, (f @ g)(x)=f(g(x)) , per ogni x in A $
applicando prima g ad x e quindi applicando f al risultato g(x).
Tu perchè hai scritto:
$f:N→Z e g:N→Z$ ???
Era solo un esempio di impossibilità di composizione funzionale dovuto dal fatto che dominio e codominio sono uguali per entrambe le funzioni, e quindi non si possono comporre neppure commutandole (seppure non sempre la composizione funzionale sia commutativa).
Forse non ci sono riuscito ma volevo solo suggerirti di inventare una funzione da comporre con la tua in base al dominio e al codominio. Dai non è difficile
Forse non ci sono riuscito ma volevo solo suggerirti di inventare una funzione da comporre con la tua in base al dominio e al codominio. Dai non è difficile
Ho visto alcuni esempi del tipo:
se $f(x)=2x^2+3$ e $g(x)=senx$
$f o g(x)=2(senx)^2+3$
$f o g(x)=2sen^2x+3$
Qui però ho già g(x) , nel mio caso ho solo f(x) , non saprei come procedere.
se $f(x)=2x^2+3$ e $g(x)=senx$
$f o g(x)=2(senx)^2+3$
$f o g(x)=2sen^2x+3$
Qui però ho già g(x) , nel mio caso ho solo f(x) , non saprei come procedere.
Provo con qualcosa di facile (spero per me )....
sia $f:ZZ \rightarrow NN$ e $x |-> 3|x|$
e sia $g:NN \rightarrow ZZ$ e $x |-> x+1$
allora
$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(3|x|)=3|x|+1$
e
$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=3|x+1|$
)....sia $f:ZZ \rightarrow NN$ e $x |-> 3|x|$
e sia $g:NN \rightarrow ZZ$ e $x |-> x+1$
allora
$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(3|x|)=3|x|+1$
e
$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=3|x+1|$
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