Studio gruppo di ordine 15
Sia $G$ un gruppo di ordine 15.
Siccome $15=3*5$ e $MCD(3,5)=1$ allora per il primo teorema di Sylow devono esistere un 3-sottogruppo di Sylow (chiamiamolo $P$) e un 5-sottogruppo di Sylow (chiamiamolo $Q$).
Sia $P$ che $Q$ sono di ordine primo e dunque (per il teorema di Cauchy) contengono un elemento di ordine rispettivamente 3 e 5 e sono dunque entrambi ciclici.
Consideriamo ora la struttura $Q<=N_G(Q)<=G$ dove $N_G(Q)$ indica il normalizzante di $Q$ in $G$.
Le cardinalità di $G$ e $Q$ sono rispettivamente $15$ e $5$ dunque l'indice di $Q$ in $G$ è $[G]=3$.
Perchè posso affermare che $[G:N_G(Q)]$ divide $3$?
Ho pensato al teorema di Lagrange ma non sono riuscito a capire come ricavare questa informazione...
Siccome $15=3*5$ e $MCD(3,5)=1$ allora per il primo teorema di Sylow devono esistere un 3-sottogruppo di Sylow (chiamiamolo $P$) e un 5-sottogruppo di Sylow (chiamiamolo $Q$).
Sia $P$ che $Q$ sono di ordine primo e dunque (per il teorema di Cauchy) contengono un elemento di ordine rispettivamente 3 e 5 e sono dunque entrambi ciclici.
Consideriamo ora la struttura $Q<=N_G(Q)<=G$ dove $N_G(Q)$ indica il normalizzante di $Q$ in $G$.
Le cardinalità di $G$ e $Q$ sono rispettivamente $15$ e $5$ dunque l'indice di $Q$ in $G$ è $[G]=3$.
Perchè posso affermare che $[G:N_G(Q)]$ divide $3$?
Ho pensato al teorema di Lagrange ma non sono riuscito a capire come ricavare questa informazione...
Risposte
Il terzo teorema di Sylow afferma che se \(\lvert G\rvert = p^sm\), con \(m\) non divisibile per \(p\) allora il numero dei p-Sylow divide \(m\) ed è congruente a 1 modulo \(p\). Nel tuo caso vi è quindi un 3-Sylow e un 5-Sylow. Sono inoltre ciclici perché di ordine un primo.
Il secondo invece dice che i p-Sylow sono coniugati tra di loro. Inoltre ogni sottogruppo coniugato ad un p-Sylow è un p-Sylow (per una questione di cardinalità). Questo vuol dire che un p-Sylow è normale se e solo se è unico.
In definitiva i tuoi sottogruppi di Sylow sono necessariamente normali. Ora concludi tu facendo vedere che quindi \(G\) è ciclico.
Il secondo invece dice che i p-Sylow sono coniugati tra di loro. Inoltre ogni sottogruppo coniugato ad un p-Sylow è un p-Sylow (per una questione di cardinalità). Questo vuol dire che un p-Sylow è normale se e solo se è unico.
In definitiva i tuoi sottogruppi di Sylow sono necessariamente normali. Ora concludi tu facendo vedere che quindi \(G\) è ciclico.
Nella versione che ho visto io del terzo teorema di Sylow non si afferma che il numero dei p-Sylow divide $m$ ma che il numero di p-Sylow è uguale a $[G:N_G(P)]$.
Il fatto che il numero di p-Sylow divida $m$ segue però facilmente da una considerazione sugli indici.
Nel caso che ho proposto, per esempio, $[G]=[G:N_G(Q)]*[N_G(Q):Q]$ ovvero $3=[G:N_G(Q)]*[N_G(Q):Q]$ e dunque $[G:N_G(Q)]$ (cioè il numero di q-Sylow) divide 3. Era questo il punto di cui non mi riuscivo a spiegare il perchè.
Ora ci sono due possibilità: $[G:N_G(Q)]=3$ o $[G:N_G(Q)]=1$: la prima però si può escludere in quanto $3-=1"mod"5$ è falsa, dunque deve essere $[G:N_G(Q)]=1$ (infatti $1-=1"mod"5$).
Questo significa che $G=N_G(Q)$ e che quindi $Q$ è normale in $G$.
Con un discorso completamente analogo si prova che anche $P$ è normale in $G$.
Questo significa che, detti $x$ e $y$ rispettivamente i generatori di $P$ e di $Q$, $xyx^-1\inQ$ ovvero $xyx^-1=y^t$.
Ora uso il fatto che $x^3yx^(-3)=y$ e dunque $x^2(xyx^-1)x^-2=x^2y^tx^-2=x(xyx^-1)^tx^-1=xy^(t^2)x^-1$.
Sarà l'ora ma da qui non riesco a mostrare che $xy^(t^2)x^-1=y^(t^3)$...perchè fatto quello avrei praticamente quasi concluso. Una dritta?
Il fatto che il numero di p-Sylow divida $m$ segue però facilmente da una considerazione sugli indici.
Nel caso che ho proposto, per esempio, $[G]=[G:N_G(Q)]*[N_G(Q):Q]$ ovvero $3=[G:N_G(Q)]*[N_G(Q):Q]$ e dunque $[G:N_G(Q)]$ (cioè il numero di q-Sylow) divide 3. Era questo il punto di cui non mi riuscivo a spiegare il perchè.
Ora ci sono due possibilità: $[G:N_G(Q)]=3$ o $[G:N_G(Q)]=1$: la prima però si può escludere in quanto $3-=1"mod"5$ è falsa, dunque deve essere $[G:N_G(Q)]=1$ (infatti $1-=1"mod"5$).
Questo significa che $G=N_G(Q)$ e che quindi $Q$ è normale in $G$.
Con un discorso completamente analogo si prova che anche $P$ è normale in $G$.
Questo significa che, detti $x$ e $y$ rispettivamente i generatori di $P$ e di $Q$, $xyx^-1\inQ$ ovvero $xyx^-1=y^t$.
Ora uso il fatto che $x^3yx^(-3)=y$ e dunque $x^2(xyx^-1)x^-2=x^2y^tx^-2=x(xyx^-1)^tx^-1=xy^(t^2)x^-1$.
Sarà l'ora ma da qui non riesco a mostrare che $xy^(t^2)x^-1=y^(t^3)$...perchè fatto quello avrei praticamente quasi concluso. Una dritta?
Non capisco che stai cercando di fare. Vorrei farti notare che i due sottogruppi sono (1) normali e (2) con intersezione banale.
Volevo mostrare che $xy=yx$ per concludere che $|xy|=|x||y|=3*5=15$.
Da cosa deduci che i due gruppi hanno intersezione banale?
Da cosa deduci che i due gruppi hanno intersezione banale?
Teorema di lagrange sulla loro intersezione.
Ah si è vero.
Beh comunque per completezza riporto la conclusione dei miei passaggi...
$xy^(t^2)x^-1=y^(t^3)$ per quanto visto due uguaglianze prima.
Allora deve essere $y=y^(t^3)$ cioè $t^3-=1"mod"5$ ovvero $t=1$.
Segue che $xyx^-1=y$ o equivalentemente che $xy=yx$.
A questo punto uso un lemma che garantisce che se $x$ e $y$ commutano e i loro ordini sono coprimi allora $|xy|=|x||y|$, quindi essendo $|G|=15$ si ha che $G=$.
Beh comunque per completezza riporto la conclusione dei miei passaggi...
$xy^(t^2)x^-1=y^(t^3)$ per quanto visto due uguaglianze prima.
Allora deve essere $y=y^(t^3)$ cioè $t^3-=1"mod"5$ ovvero $t=1$.
Segue che $xyx^-1=y$ o equivalentemente che $xy=yx$.
A questo punto uso un lemma che garantisce che se $x$ e $y$ commutano e i loro ordini sono coprimi allora $|xy|=|x||y|$, quindi essendo $|G|=15$ si ha che $G=
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