Strutture algebriche:gruppi
ciao a tutti..volevo togliermi un dubbio..
sul libro c'è scitto che gruppi finiti di ordine minore di 6 sono necessariamente abeliani..ma non è enunciata la dimostrazione..
la cosa mi lascia un pò diffidente..a voi risulta?? grazie..ciao
sul libro c'è scitto che gruppi finiti di ordine minore di 6 sono necessariamente abeliani..ma non è enunciata la dimostrazione..
la cosa mi lascia un pò diffidente..a voi risulta?? grazie..ciao
Risposte
Prova...
I gruppi di questo tipo sono pochi... quelli di ordine 2, 3, 5 sono ciclici. Riguardo a quello di ordine 4 ve ne sono due. Uno è ciclico e l'altro è il gruppo delle simmetrie del rettangolo che è abeliano. Il più piccolo gruppo non abeliano ha ordine 6 ed è il gruppo delle simmetrie del triangolo equilatero o equivalentemente il gruppo delle permutazioni di 3 elementi.
I gruppi di questo tipo sono pochi... quelli di ordine 2, 3, 5 sono ciclici. Riguardo a quello di ordine 4 ve ne sono due. Uno è ciclico e l'altro è il gruppo delle simmetrie del rettangolo che è abeliano. Il più piccolo gruppo non abeliano ha ordine 6 ed è il gruppo delle simmetrie del triangolo equilatero o equivalentemente il gruppo delle permutazioni di 3 elementi.
Per dimostrare che un gruppo di ordine 4 è abeliano puoi anche procedere così:
sia $G={1,a,b,c}$ di ordine $4$, quindi con $a ne b ne c ne a$ e $a,b,c ne 1$. Siccome $G$ ha ordine $4$, l'ordine di $a,b,c$ dovrà dividere $4$ ed essere diverso da $1$ (l'unico elemento di ordine $1$ è l'identità). Ora se uno tra $a,b,c$ ha ordine $4$ allora $G$ è ciclico e quindi abeliano. Supponiamo allora che $a,b,c$ abbiano ordine $2$. In tal caso $a^2=b^2=c^2=1$. Mostriamo per esempio che $ab=ba$ (per mostrare poi che $ac=ca$ e $bc=cb$ il procedimento è lo stesso, basta cambiare nome alle lettere). Ora $ab ne 1$ perché altrimenti $ab=1=a^2$ e quindi $b=a$, escluso. Inoltre $ab ne b$ altrimenti $a=1$, e $ab ne a$ altrimenti $b=1$. Ne segue che $ab=c$. Analogamente $ba ne 1 = a^2$ altrimenti $b=a$, e $ba ne b$ e $ba ne a$ altrimenti $a=1$ oppure $b=1$, escluso. Allora forzatamente $ba=c$ e quindi $ba=c=ab$.
sia $G={1,a,b,c}$ di ordine $4$, quindi con $a ne b ne c ne a$ e $a,b,c ne 1$. Siccome $G$ ha ordine $4$, l'ordine di $a,b,c$ dovrà dividere $4$ ed essere diverso da $1$ (l'unico elemento di ordine $1$ è l'identità). Ora se uno tra $a,b,c$ ha ordine $4$ allora $G$ è ciclico e quindi abeliano. Supponiamo allora che $a,b,c$ abbiano ordine $2$. In tal caso $a^2=b^2=c^2=1$. Mostriamo per esempio che $ab=ba$ (per mostrare poi che $ac=ca$ e $bc=cb$ il procedimento è lo stesso, basta cambiare nome alle lettere). Ora $ab ne 1$ perché altrimenti $ab=1=a^2$ e quindi $b=a$, escluso. Inoltre $ab ne b$ altrimenti $a=1$, e $ab ne a$ altrimenti $b=1$. Ne segue che $ab=c$. Analogamente $ba ne 1 = a^2$ altrimenti $b=a$, e $ba ne b$ e $ba ne a$ altrimenti $a=1$ oppure $b=1$, escluso. Allora forzatamente $ba=c$ e quindi $ba=c=ab$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo