Struttura di gruppo su curve ellittiche
Ho trovato due tipi di costruzione del gruppo su una curva ellittica e non capisco se sono due cose diverse o se sono la stessa cosa e in tal caso come si collegano.
Ho $X$ una curva ellittica nel piano.
1)Scelgo un punto qualsiasi $O$, e dati due punti $P$, $Q$, trovo $P+Q$ come la residua intersezione con $X$ della retta che unisce $O$ e $N$, dove $N$ è la residua intersezione con $X$ della retta che unisce $P$ e $Q$.
2)Nel piano affine $x,y$ definisco $P+Q$ come la riflessione rispetto all'asse delle $x$ della residua intersezione con $X$ della retta che unisce $P$ e $Q$.
Ho $X$ una curva ellittica nel piano.
1)Scelgo un punto qualsiasi $O$, e dati due punti $P$, $Q$, trovo $P+Q$ come la residua intersezione con $X$ della retta che unisce $O$ e $N$, dove $N$ è la residua intersezione con $X$ della retta che unisce $P$ e $Q$.
2)Nel piano affine $x,y$ definisco $P+Q$ come la riflessione rispetto all'asse delle $x$ della residua intersezione con $X$ della retta che unisce $P$ e $Q$.
Risposte
Io ad esempio sapevo che nella 1) il punto [tex]O[/tex] non è qualsiasi, ma è un flesso (e la curva ellittica è presa liscia).
Credo che la 2) sia equivalente alla 1) prendendo come punto [tex]O[/tex] il punto all'infinito. Non sono troppo sicuro (e non ho fatto i conti), però. Mi sembra solo di ricordare di aver sentito dire così...
Credo che la 2) sia equivalente alla 1) prendendo come punto [tex]O[/tex] il punto all'infinito. Non sono troppo sicuro (e non ho fatto i conti), però. Mi sembra solo di ricordare di aver sentito dire così...
Sono sicuro che in 1) il punto $O$ è qualsiasi. Se prendi un flesso allora viene più facile trovare l'opposto, però concettualmente non è rilevante.
Come si traduce prendere $O$ all'infinito con il fare la riflessione rispetto all'asse $x$?
Come si traduce prendere $O$ all'infinito con il fare la riflessione rispetto all'asse $x$?
Ci credo, non sono assolutamente un esperto e, come ho già detto, parlo solo per sentito dire. E così su due piedi non saprei fornirti una giustificazione a quello che ho detto... sorry, ma non ho mai studiato queste cose!
La seconda ricetta per calcolare $P + Q$ e' valida solo se $O =$ punto all'infinito
e se l'equazione della curva ellittica E ha una forma speciale, vale a dire
$$Y^2=f(X)
$$
dove $f(X)=X^3+aX^2+bX+c$ e' un polinomio di grado 3 senza zeri doppi.
In questo caso le due ricette coincidono, perche' "riflettere $N$ rispetto all'asse
delle $x$" da esattamente "la residua intersezione con $E$ della retta che unisce $N$ e $O$".
Infatti, in termini di coordinate proiettive, l'equazione della retta all'infinito e' $Z=0$.
L'equazione della curva ellittica e' $Y^2Z = X^3+aX^2Z+bXZ^2+cZ^3$. Il punto all'infinito
e' dato da $(0:1:0)$. Sia $(u,v)$ il punto $N$. In termini di coordinate proiettive abbiamo che $N=(u,v,1)$. La retta passante per $O=(0:1:0)$ e $(u,v,1)$ e' data da $X=uZ$. Nel piano affine si tratta quindi della retta verticale data da $X = u$. Il terzo punto di intersezione e' il punto $(u,-v)$, vale a dire il punto $N$ riflesso rispetto all'asse delle $x$.
e se l'equazione della curva ellittica E ha una forma speciale, vale a dire
$$Y^2=f(X)
$$
dove $f(X)=X^3+aX^2+bX+c$ e' un polinomio di grado 3 senza zeri doppi.
In questo caso le due ricette coincidono, perche' "riflettere $N$ rispetto all'asse
delle $x$" da esattamente "la residua intersezione con $E$ della retta che unisce $N$ e $O$".
Infatti, in termini di coordinate proiettive, l'equazione della retta all'infinito e' $Z=0$.
L'equazione della curva ellittica e' $Y^2Z = X^3+aX^2Z+bXZ^2+cZ^3$. Il punto all'infinito
e' dato da $(0:1:0)$. Sia $(u,v)$ il punto $N$. In termini di coordinate proiettive abbiamo che $N=(u,v,1)$. La retta passante per $O=(0:1:0)$ e $(u,v,1)$ e' data da $X=uZ$. Nel piano affine si tratta quindi della retta verticale data da $X = u$. Il terzo punto di intersezione e' il punto $(u,-v)$, vale a dire il punto $N$ riflesso rispetto all'asse delle $x$.
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