Stabilire se Up in Zn è un gruppo ciclico
Ciao a tutti! Tra pochi giorni avrò un esame e mi è venuto un dubbio su questo esercizio. In particolare, mi chiede di stabilire se il gruppo degli invertibili di Zn per un qualche n è ciclico. Esempio con n = 5, n = 6, n = 8, n = 15, n = 25.
L'esercizio l'ho impostato cosi:
Applicando Eulero, mi trovo il numero di elementi invertibili di \(\displaystyle Zn \), trovando dunque \(\displaystyle Up \);
In \(\displaystyle Z7: \)
\(\displaystyle Up = {(1, 2, 3, 4, 5, 6}) \)
per verificare se è ciclico devo trovare un generatore \(\displaystyle \) tra gli elementi del gruppo e vedere se mi da tutti gli elementi del gruppo. Fin qui ci siamo.
CI sono alcune cose che però non mi tornano. Sappiamo che per Lagrange, il periodo di un certo gruppo ciclico è un divisore dell'ordine di quel gruppo. Esempio in\(\displaystyle Z15 \), gli elementi di \(\displaystyle Up \ )sono 8, quindi il periodo dei sottogruppi ciclici è un divisore di 8. Tuttavia, svolgendo i calcoli, mi sono accorto che in Z15 non esiste nessuna classe, tra le invertibili di periodo 8. Cosa sto sbagliando? Esiste un modo per sapere se il gruppo degli invertibili è ciclico a priori, o è necessario elevare ogni elemento per se stesso sperando di trovare Up?
L'esercizio l'ho impostato cosi:
Applicando Eulero, mi trovo il numero di elementi invertibili di \(\displaystyle Zn \), trovando dunque \(\displaystyle Up \);
In \(\displaystyle Z7: \)
\(\displaystyle Up = {(1, 2, 3, 4, 5, 6}) \)
per verificare se è ciclico devo trovare un generatore \(\displaystyle \) tra gli elementi del gruppo e vedere se mi da tutti gli elementi del gruppo. Fin qui ci siamo.
CI sono alcune cose che però non mi tornano. Sappiamo che per Lagrange, il periodo di un certo gruppo ciclico è un divisore dell'ordine di quel gruppo. Esempio in\(\displaystyle Z15 \), gli elementi di \(\displaystyle Up \ )sono 8, quindi il periodo dei sottogruppi ciclici è un divisore di 8. Tuttavia, svolgendo i calcoli, mi sono accorto che in Z15 non esiste nessuna classe, tra le invertibili di periodo 8. Cosa sto sbagliando? Esiste un modo per sapere se il gruppo degli invertibili è ciclico a priori, o è necessario elevare ogni elemento per se stesso sperando di trovare Up?
Risposte
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo