Stabilire se una corrispondenza di Z in Z è un'applicazione

[Kurtis92]

Salve ragazzi, devo dire se le seguenti corrispondenze di Z in Z sono applicazioni:
$ p1 = {(x,y) in Z×Z : y = x^2+1} $
$ p2 = {(x,y) in Z×Z : x = y^2-1} $

Per quanto riguarda $p1$, credo si debba procedere controllando se a immagini diverse non corrisponde lo stesso elemento del dominio. Perciò, supponendo di avere due immagini diverse come $f(x)=x^2+1$ e $f(z)=z^2+1$, devo verificare che gli elementi di $x$ e $z$ siano diversi tra loro, in modo che ad uno stesso elemento del dominio corrispondano due elementi del codominio. Per ipotesi, dunque, abbiamo $x^2+1 ≠ z^2+1$. Dal momento che ci troviamo nel campo $Z$, possiamo affermare che non esiste un numero che elevato al quadrato dia due numeri diversi; invece possiamo benissimo dire che esistono due numeri che, elevati al quadrato, danno lo stesso risultato, per esempio come $1$ e $-1$.
Dunque l'applicazione è definita, anche se non è iniettiva né suriettiva. Credo che il ragionamento sia valido.

Ma per quanto riguarda $p2$, come procedo?

[Pappappero1]

In pratica hai quasi risposto anche per $p_2$. Fai vedere che ci sono due elementi $(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$ tali che $y_1 \ne y_2$ ma $x_1 = x_2$. In questo modo mostri che $p_2$ non è funzione.

[Kurtis92]

Scusa se ti rispondo in ritardo..

Comunque se posso fare lo stesso ragionamento per \(\displaystyle p2 \), dimostrando però che \(\displaystyle p2 \) non è una funzione, allora \(\displaystyle p1 \) è o non è una funzione? Che differenza c'è?

[Pappappero1]

Con lo stesso ragionamento mostri sia che $p_1$ è una funzione sia che $p_2$ non è una funzione. Nel primo caso, devi far vedere che hai due coppie $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ tali che $x_1 = x_2$, allora ottieni $y_1 = y_2$. Nel secondo caso, puoi osservare che questa condizione non vale.