Stabilire se un gruppo è ciclico per operazioni generiche
Ciao, per stabilire se un gruppo è ciclico e trovarne i generatori per gruppi nello stile $(Z_n, +)$ non ho nessun problema, il procedimento è quello classico ed è un algoritmo semplice da seguire; nel caso avessi un gruppo $(S3, °)$ sull'insieme $X = {1, 2, 3}$ come fare?
Gli elementi del gruppo sono {1, 2, 3}, ma per stabilire se è generatore come faccio per le potenze? E per stabilirne tutti i sottogruppi, a parte naturalmente quelli banali, che procedimento uso?
Grazie.
Gli elementi del gruppo sono {1, 2, 3}, ma per stabilire se è generatore come faccio per le potenze? E per stabilirne tutti i sottogruppi, a parte naturalmente quelli banali, che procedimento uso?
Grazie.
Risposte
Beh, puoi per esempio usare il fatto che $S_3$ non è abeliano...
"adima":Se intendi il gruppo simmetrico $S_3$, non sono d'accordo.
nel caso avessi un gruppo $(S3, °)$ sull'insieme $X = {1, 2, 3}$ come fare?
Gli elementi del gruppo sono {1, 2, 3},
$S_3={id, (12),(13),(23),(123),(132)}$
@vict85: vero, $S_3$ non è abeliano e quindi non è ciclico!!!
@Gi8: come hai fatto a trovarne gli elementi? spulciando sulla mia teoria ho trovato che gli elementi di un gruppo simmetrico $(S_3, °)$ si esprimono così: $((1,2,3),(°(1),°(2),°(3)))$ .
Ti pongo il mio ragionamento: se per Lagrange i sottogruppi della permutazione devono avere ordine che divisore di 3! (ordine di X), quindi 6 e quindi i sottogruppi possono avere come ordine 2 e 3. Tu hai calcolato tutte le permutazioni possibili che hanno ordine 2 e 3?
@Gi8: come hai fatto a trovarne gli elementi? spulciando sulla mia teoria ho trovato che gli elementi di un gruppo simmetrico $(S_3, °)$ si esprimono così: $((1,2,3),(°(1),°(2),°(3)))$ .
Ti pongo il mio ragionamento: se per Lagrange i sottogruppi della permutazione devono avere ordine che divisore di 3! (ordine di X), quindi 6 e quindi i sottogruppi possono avere come ordine 2 e 3. Tu hai calcolato tutte le permutazioni possibili che hanno ordine 2 e 3?
Quella che hai scritto è la permutazione "identità", che io ho indicato con $id$: $((1,2,3),(1,2,3))$
$(12)$ è equivalente a scrivere $((1,2,3),(2,1,3))$
e va interpretato così: $1$ diventa $2$, $2$ diventa $1$ , $3$ (siccome non c'è) rimane invariato
$(12)$ è equivalente a scrivere $((1,2,3),(2,1,3))$
e va interpretato così: $1$ diventa $2$, $2$ diventa $1$ , $3$ (siccome non c'è) rimane invariato
Sisi, ho quasi capito... 
Altra domanda, quelli che hai scritto te possono essere considerati sottogruppi del gruppo simmetrico?
Altra domanda, quelli che hai scritto te possono essere considerati sottogruppi del gruppo simmetrico?
Ehm,... io non ho scritto alcun sottogruppo.
Nel mio primo post ho elencato gli elementi di $S_3$, nel secondo ho scritto a cosa corrispondono due di quegli elementi.
Prova a scrivere il sottogruppo di $S_3$ generato da $(12)$
Nel mio primo post ho elencato gli elementi di $S_3$, nel secondo ho scritto a cosa corrispondono due di quegli elementi.
Prova a scrivere il sottogruppo di $S_3$ generato da $(12)$
Probabilmente non hai ancora studiato i gruppi di permutazione per bene. Esistono dei teoremi che descrivono in maniera molto semplice gli elementi di \(\displaystyle S_n \) (che sono \(\displaystyle n! \)). Nel caso specifico Gi8 usa la notazione ciclica.
La tua notazione comunque non ha alcun senso. Se \(\displaystyle \circ \) è l'operazione di composizione di permutazioni allora \(\displaystyle \circ(1) \) non ha alcun senso perché \(\displaystyle \circ \) è una operazione binaria!
La notazione è tuttal più:
\(\displaystyle \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} \)
Infatti \(\displaystyle S_n \) è definito come l'insieme delle permutazioni/funzioni biettive da \(\displaystyle [n] = \{1, 2, \dotsc\!, n\} \) in sé. Quella rappresentazione consiste nel rappresentare la biezione attraverso l'immagine di ogni suo elemento.
Esiste però una rappresentazione più comoda per \(\displaystyle S_n \) con \(\displaystyle n \) finito (esistono anche le permutazioni di insiemi infiniti ma risultano meno utili).
Considera la permutazione:
\(\displaystyle \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \)
si nota immediatamente che \(\displaystyle \sigma \) scambia tra di loro il due e il tre e mantiene fisso gli altri. Questo tipo di permutazioni si chiamano scambi e si segnano come \(\displaystyle \sigma = (1, 2) \) o anche \(\displaystyle \sigma = (1\;2) \) a seconda delle preferenze personali.
Una condizione analoga avviene nelle permutazioni:
\(\displaystyle \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \)
Cominciamo da \(\displaystyle \alpha \). Quest'ultima non è senza dubbio uno scambio. D'altra parte se noi consideriamo le potenze \(\displaystyle \alpha, \alpha^2,\dotsc \) di \(\displaystyle \alpha \) ricaviamo che \(\displaystyle 1\mapsto 4\mapsto 2\mapsto 1 \) mentre il \(\displaystyle 3 \) viene fissato da ogni potenza di \(\displaystyle \alpha \). Una permutazioni di questo tipo viene chiamata 3-ciclo in quanto \(\displaystyle \alpha \) permuta ciclicamente 3 elementi tra di loro.
Similmente \(\displaystyle \tau \) è un \(\displaystyle 4 \)-ciclo (permuta ciclicamente \(\displaystyle 4 \) elementi). In generale si definisco gli \(\displaystyle n \)-cicli e un ciclo è definito come un \(\displaystyle n \)-ciclo per un qualche \(\displaystyle n \).
I cicli, similmente agli scambi (che sono anche detti 2-cicli), si scrivono nella forma \(\displaystyle \alpha = (1, 4, 2) \) oppure \(\displaystyle \alpha = (1\;4\;2) \) e \(\displaystyle \tau = (1, 2, 3, 4) \) oppure \(\displaystyle \tau = (1\;2\;3\;4) \).
Due cicli si dicono disgiunti se l'uno fissa gli elementi dell'altro. In questo caso due cicli commutano tra di loro.
Si dimostra che ogni permutazione può essere espressa come prodotto di cicli disgiunti (ed è quello che ha fatto Gi8). Inoltre ogni permutazione è anche esprimibile come prodotto di scambi o in altre parole gli scambi sono un insieme di generatori di \(\displaystyle S_n \) (anche se non minimale).
Il gruppo simmetrico è abeliano (nonché ciclico) solo per \(\displaystyle n<3 \).
La tua notazione comunque non ha alcun senso. Se \(\displaystyle \circ \) è l'operazione di composizione di permutazioni allora \(\displaystyle \circ(1) \) non ha alcun senso perché \(\displaystyle \circ \) è una operazione binaria!
La notazione è tuttal più:
\(\displaystyle \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} \)
Infatti \(\displaystyle S_n \) è definito come l'insieme delle permutazioni/funzioni biettive da \(\displaystyle [n] = \{1, 2, \dotsc\!, n\} \) in sé. Quella rappresentazione consiste nel rappresentare la biezione attraverso l'immagine di ogni suo elemento.
Esiste però una rappresentazione più comoda per \(\displaystyle S_n \) con \(\displaystyle n \) finito (esistono anche le permutazioni di insiemi infiniti ma risultano meno utili).
Considera la permutazione:
\(\displaystyle \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \)
si nota immediatamente che \(\displaystyle \sigma \) scambia tra di loro il due e il tre e mantiene fisso gli altri. Questo tipo di permutazioni si chiamano scambi e si segnano come \(\displaystyle \sigma = (1, 2) \) o anche \(\displaystyle \sigma = (1\;2) \) a seconda delle preferenze personali.
Una condizione analoga avviene nelle permutazioni:
\(\displaystyle \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \)
Cominciamo da \(\displaystyle \alpha \). Quest'ultima non è senza dubbio uno scambio. D'altra parte se noi consideriamo le potenze \(\displaystyle \alpha, \alpha^2,\dotsc \) di \(\displaystyle \alpha \) ricaviamo che \(\displaystyle 1\mapsto 4\mapsto 2\mapsto 1 \) mentre il \(\displaystyle 3 \) viene fissato da ogni potenza di \(\displaystyle \alpha \). Una permutazioni di questo tipo viene chiamata 3-ciclo in quanto \(\displaystyle \alpha \) permuta ciclicamente 3 elementi tra di loro.
Similmente \(\displaystyle \tau \) è un \(\displaystyle 4 \)-ciclo (permuta ciclicamente \(\displaystyle 4 \) elementi). In generale si definisco gli \(\displaystyle n \)-cicli e un ciclo è definito come un \(\displaystyle n \)-ciclo per un qualche \(\displaystyle n \).
I cicli, similmente agli scambi (che sono anche detti 2-cicli), si scrivono nella forma \(\displaystyle \alpha = (1, 4, 2) \) oppure \(\displaystyle \alpha = (1\;4\;2) \) e \(\displaystyle \tau = (1, 2, 3, 4) \) oppure \(\displaystyle \tau = (1\;2\;3\;4) \).
Due cicli si dicono disgiunti se l'uno fissa gli elementi dell'altro. In questo caso due cicli commutano tra di loro.
Si dimostra che ogni permutazione può essere espressa come prodotto di cicli disgiunti (ed è quello che ha fatto Gi8). Inoltre ogni permutazione è anche esprimibile come prodotto di scambi o in altre parole gli scambi sono un insieme di generatori di \(\displaystyle S_n \) (anche se non minimale).
Il gruppo simmetrico è abeliano (nonché ciclico) solo per \(\displaystyle n<3 \).
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