Srutture algebriche con $P(S)$

[gaten]

Ragazzi, riguardo le strutture algebriche con insieme, l'insieme delle parti $P(S)$ e le operazioni di:
differenza, differenza simmetrica, unione, intersezione.

Cosa posso dire?

Ad esempio ho letto che:
L'insieme delle parti di qualsiasi insieme, con operazione la differenza simmetrica, costituisce un gruppo abeliano.

[j18eos]

Quanto dici è vero; io proposi questo esercizio se ti interessa!

Ovviamente, ti invito a provare l'affermazione che hai riportato, in quanto parte integrante dell'esercizio!

[gaten]

Perdonami ,ma ciò che cerco io è più legato ai gruppi, anelli, monoidi etc... ad esempio vorrei sapere perchè l'insieme delle parti di un insieme $S$ è un semigruppo con l'operazione di intersezione, oppure dimostrare perchè $(P(S)$ con le operazioni di , differenza simmetrica e intersezione è un anello commutativo

[j18eos]

Ma hai provato a dimostrare quanto chiedi?

Cioè: riesci a dimostrare che la differenza insiemistica \(\Delta\) o \(\stackrel{\circ}{\cup}\) è una operazione, associativa, commutativa, ammette un elemento neutro ed ogni elemento ha il suo simmetrico?

[gaten]

proprio questo chiedevo

[j18eos]

A parte la proprietà associativa della somma insiemistica disgiunta, il resto ha delle dimostrazioni vergognose!

Le riesci a portare avanti?

[gaten]

stò provando a dimostrare che $(P(S),Δ)$, è un gruppo abeliano:

1) stò provado che l'associatività vale $AA X,Y,Z in P(S)$ , $X Δ (Y Δ Z)=(X Δ Y) Δ Z$

$X Δ (Y Δ Z)= X Δ ((Y uu Z)-(Y nn Z))$, da qui come continuo?

[j18eos]

Ora ci siamo!

Io non ci riuscì come stai provando tu, bensì riuscii col dimostrare che \(X\Delta(Y\Delta Z)\subseteq(X\Delta Y)\Delta Z\) eppoi che vale l'inclusione inversa.

[gaten]

Cioè mi spieghi come lo hai dimostrato tu?

[j18eos]

Semplice: sia \(w\in X\Delta(Y\Delta Z)\): che significa? Come puoi arrivare ad affermare che \(w\in(X\Delta Y)\Delta Z\)?

[Richard_Dedekind]

Conosco una bella dimostrazione indiretta per provare che \((\mathscr{P}(X),\Delta, \cap)\) è un anello. Se ti interessa, posso scrivertela.

[j18eos]

Riccardo (consentimelo), io preferisco che gaten si faccia le ossa con questo tipo di dimostrazioni; poi dopo sarò concorde con te nel leggere questa dimostrazione indiretta!

[Richard_Dedekind]

Ovviamente, anch'io sono di quest'idea. Almeno una volta nella vita vanno fatte!

[gaten]

Comunque, j18eos, ho già dimostrato che $(P(X), differenza simmetrica, nn)$ è un anello:)

[Richard_Dedekind]

Quand'è così, saprai bene che fatica si compie per provare le proprietà associativa e distributiva. Be', questa dimostrazione scansa bellamente il problema lavorando su strutture parallele.

Mi servono alcuni risultati intermedi prima di procedere in modo effettivo.

Lemma. Sia \((A,+,\cdot)\) un anello e sia \(X\) un insieme qualunque. Allora \((A^X,\oplus,\odot)\) forma un anello con le seguenti operazioni: \(\forall f,g\in A^X, \forall x\in X\,\,\,\) \[ (f\oplus g)(x)=f(x)+g(x) \] \[ (f\odot g)(x)=f(x)g(x)\]

La dimostrazione è del tutto ovvia e ve la lascio come simpatico esercizio. Mi preme, piuttosto, sottolineare quali siano gli elementi neutri. Per la somma, \(\mathfrak{0}\in A^X\) è la funzione tale che \(x\mapsto 0_A\) e per il prodotto \(\mathfrak{1}\in A^X\) è la funzione tale che \(x\mapsto 1_A\).
Mettiamoci ora in un caso un po' più particolare, ossia scegliamo \(A=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), mentre \(X\) è sempre generico.

Definizione Sia \(f:X\longrightarrow A\) una funzione a valori in un anello \(A\). Si definisce allora supporto di \(f\) l'insieme \[\mathrm{supp}\,(f)=\{x\in X\,|\,f(x)\neq 0_A\}\]

Notiamo che la funzione \(\Sigma : A^X\longrightarrow \mathscr{P}(X)\) è biiettiva, il che si evince dallo stretto rapporto tra \(f\) ed il suo supporto. Se \(f\neq g\) sono funzioni distinte di \(A^X\), allora anche i loro supporti sono distinti. Viceversa, se \(\mathrm{supp}\,(f)\neq \mathrm{supp}\,(g)\), allora anche \(f=g\) (è una facile verifica).
Una candidata inversa per \(\Sigma\) potrebbe essere (propongo io) \(\Theta :\mathscr{P}(X)\longrightarrow A^X\) tale che \(X\mapsto \chi_X\), essendo
\[\chi_X(x)= \begin{cases} 1_A & \mbox{se }x\in X \\ 0_A & \mbox{se }x\notin X
\end{cases}\]
la funzione caratteristica. In effetti, per ogni \(X\in X\) e per ogni \(f\in A^X\),
\[(\Sigma \circ \Theta) (X)=\Sigma(\chi_X)=\mathrm{supp}\,(\chi_X)=X\]\[[(\Theta \circ \Sigma)(f)](x)=[\Theta(\mathrm{supp}\,f)](x)=(\chi_{\mathrm{supp}\,(f)})(x)=f(x)\]
Per spiegare un po' meglio la seconda parte, dobbiamo ricordare che \(f\) è una funzione a valori in \(A\), il quale contiene solo due elementi: lo zero e l'unità. Dunque, se un elemento di \(X\) sta o meno nel supporto di \(f\) dipende proprio da quanto fa \(f(x)\). Esplicitamente, se \(x\in \mathrm{supp}\,f\Rightarrow f(x)=1=\chi_{\mathrm{supp}\,f}\); se \(x\notin \mathrm{supp}\,f \Rightarrow f(x)=0=\chi_{\mathrm{supp}\,f}\).

Viene ora la parte un po' più interessante. In effetti ha senso chiedersi per quali elementi \(t\in X\) si abbia
\[(\chi_Y+\chi_Z)(t)=\chi_Y(t)+\chi_Z(t)=1_A\]
dove \(Y,Z\in \mathscr{P}(X)\). Non è difficile: ciò avviene solo quando uno dei due addendi è \(1_A\) e l'altro è zero, alternativamente. Quindi avviene nei casi in cui: 1) \(t\notin X\) e \(t\in Y\), ossia \(t\in Y\setminus X\); oppure 2) \(t\in X\) e \(t\notin Y\), ossia \(t\in X\setminus Y\). In totale, i casi ci dicono che deve verificarsi la seguente cosa: \(t\in (X\setminus Y)\cup (Y\setminus X)\) ovvero \(t\in X\Delta Y\). Ma allora quello che abbiamo scoperto è che
\[\chi_X+\chi_Y=\chi_{X\Delta Y}\]
E in modo assolutamente identico (cambiando ovviamente i quantificatori), si trova che
\[\chi_Y\cdot \chi_Z =\chi_{Y\cap Z}\]
Cosa stiamo facendo? In altre parole stiamo spostando le questioni di appartenenza ad un certo insieme mediante la funzione \(\Theta\), che ci spedisce in un anello di funzioni particolarmente comodo. O veniamo quindi al nostro problema: dimostrare l'uguaglianza
\[(Y\Delta Z)\Delta W= Y\Delta (Z\Delta W)\]
Applichiamo \(\Theta\) e troviamo
\[\Theta((Y\Delta Z)\Delta W)=\chi_{(Y\Delta Z)\Delta W}=\chi_{Y\Delta Z}+\chi_{W}=(\chi_{Y}+\chi_Z)+\chi_W =\]\[=\chi_Y+(\chi_Z+\chi_W)=\chi_Y+\chi_{Z\Delta W}=\chi_{Y\Delta (Z\Delta W)}=\Theta(Y\Delta (Z\Delta W))\]
E ricordando che \(\Theta \) è una biiezione, si ottiene la tesi. Osservate che abbiamo utilizzato il Lemma in modo sostanziale, spostando le parentesi alla quarta uguaglianza.
La distributività è altrettanto semplice:
\[\Theta(Y\cap (Z\Delta W)=\chi_{Y\cap (Z\Delta W)}=\chi_Y\chi_{Z\Delta W}=\chi_Y(\chi_Z+\chi_W)=\]\[=\chi_Y\cdot \chi_Z+\chi_Y\cdot \chi_W=\chi_{Y\cap Z}+\chi_{Y\cap W}=\chi_{(Y\cap Z)\Delta (Y\cap W)}=\Theta((Y\cap Z)\Delta (Y\cap W))\]
e si conclude di nuovo poiché \(\Theta\) è biiettiva.

Vi lascio un esercizio che contiene un giochetto.
Esercizio SIa \(A\) un anello tale che ogni elemento sia idempotente (id est, \(a^2=a\,\,\forall a\in A\).
1) Si provi che \(2a=0\,\,\forall a\in A\);
2) Si provi che \(A\) è commutativo;
3) Si esibisca un anello con la proprietà che \(a^2=a\).