Spiegazione su gruppo ciclico

[punx]

ragazzi ho un dubbio che mi assale da un paio di giorni...quando posso concludere che un gruppo è ciclico??
posso dire ciò se trovo un elemento che lo genera?
oppure devo utilizzare necessariamente la caratterizzazione e mostrare l'isomorfismo con $ZZn$??
fino a poco fa credevo che bastasse trovare un generatore ma ora...

[Steven11]

"erdos1123":
posso dire ciò se trovo un elemento che lo genera?

Certo che sì.

[maurer]

Se hai il generatore hai un isomorfismo. E viceversa. Cos'è che ti fa sorgere questo (malriposto) dubbio?

[punx]

ragazzi scusate ma credo di aver fatto la figura dell'idiota nel chiedervi ciò ;in quanto la prima citata è proprio la definizione di gruppo ciclico...quindi qualora trovassi un elemento periodico tale che generi l'insieme, verificato questo essere gruppo, posso concludere dicendo che è un gruppo ciclico...o sbaglio?
quindi in questo caso http://www.matematicamente.it/forum/permutazioni-2-t69213.html#486643( scusate ma non so come fare a prendere solo la citazione...)
dopo aver determinato l' elemento $alpha in G$ posso concludere dicendo che $ G = {alpha^k| k in Z } $ e che quindi G é un gruppo ciclico?

[punx]

diciamo comunque che a confondermi è stata la poca memoria e un amico di studi...

[vict85]

Esistono molti modi per dimostrare che un gruppo è ciclico. Di per se l'uso di uno o dell'altro dipende dal contesto in cui ti trovi.

[punx]

ok...ma nel caso linkato come lo provo???

[vict85]

Se hai determinato l'elemento $a$ allora hai dimostrato che è ciclico. Ma non sempre determinarlo è semplice.