Spiegazione risoluzione esercizi Principio di Induzione
Ciao a tutti 
Mi é chiaro cosa sia il principio di induzione, ma non mi é chiaro come risolvere gli esercizi.
Qualcuno mi può gentilmente aiutare sviluppando l'esercizio e commentandolo passo passo..
Grazie a tutti..
Mi é chiaro cosa sia il principio di induzione, ma non mi é chiaro come risolvere gli esercizi.
Qualcuno mi può gentilmente aiutare sviluppando l'esercizio e commentandolo passo passo..
Grazie a tutti..
Risposte
Ciao!
benvenuto nel forum!! Hai provato ad abbozzare l'esercizio?
Se no, prova a guardare questo link http://www.mat.unimi.it/users/massa/eserind.pdf e prova a risolvere quello che hai postato.. dovresti riuscire perchè nel link ci sono esercizi simili a quello che hai proposto...
benvenuto nel forum!! Hai provato ad abbozzare l'esercizio?
Se no, prova a guardare questo link http://www.mat.unimi.it/users/massa/eserind.pdf e prova a risolvere quello che hai postato.. dovresti riuscire perchè nel link ci sono esercizi simili a quello che hai proposto...
Buonasera,
Eh circa due ore che cerco di risponderle, ma il forum mi sta dando problemi. Sto cercando di allegarli il file del mio abbozzo riguardo l'esercizio, ma senza riuscita.. Ho provato anche a inviarli al posto di un JPEG un PDF ma il risultato é uguale.. Mi esce errore un errore del database..
Cordiali saluti,
Giovanni Montanaro..
Eh circa due ore che cerco di risponderle, ma il forum mi sta dando problemi. Sto cercando di allegarli il file del mio abbozzo riguardo l'esercizio, ma senza riuscita.. Ho provato anche a inviarli al posto di un JPEG un PDF ma il risultato é uguale.. Mi esce errore un errore del database..
Cordiali saluti,
Giovanni Montanaro..
Magari se scrivi la tua soluzione usando le formule ...
Salve,
Quel link che mi ha allegato l'ho già scaricato in precedenza e prima di scrivere qui sopra ho girato in varie pagine capendo qualcosina in più ma senza riuscire a svolgere gli esercizi e a essere sicuro della correttezza di essi..
Ho provato ad abbozzare qualcosa che ora Vi allego, ma come detto ora non sono sicuro se il procedimento sia questo..
Ho chiesto aiuto in vari gruppi e qualche forum, ma il risultato finale é stato spiegarmi la teoria, cosa che, come sappiamo la pratica è un'altra storia.
Spero in un suo Aiuto
Quel link che mi ha allegato l'ho già scaricato in precedenza e prima di scrivere qui sopra ho girato in varie pagine capendo qualcosina in più ma senza riuscire a svolgere gli esercizi e a essere sicuro della correttezza di essi..
Ho provato ad abbozzare qualcosa che ora Vi allego, ma come detto ora non sono sicuro se il procedimento sia questo..
Ho chiesto aiuto in vari gruppi e qualche forum, ma il risultato finale é stato spiegarmi la teoria, cosa che, come sappiamo la pratica è un'altra storia.
Spero in un suo Aiuto
Premesso che il link non te l'ho messo io, che l'esercizio va scritto con le formule come si deve e non allegando immagini e che comunque io non ho capito granchè su cosa volevi dimostrare con quelle poche righe allora ...
Passo Base: n=1
$1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i = 3/2-(2/3)^(n+1)$
Sostituisco $1$ al posto di $n$ e verifico la correttezza:
- a sx $1/2 sum_(i=0)^(1+1) (2/3)^i = 1/2*[(2/3)^0+(2/3)^1+(2/3)^2]=1+2/3+4/9=(9+6+4)/9=19/18$
- a dx $3/2-(2/3)^(1+1)=3/2-4/9=(27-8)/18=19/18$
Ok, questa è andata
Passiamo al Passo induttivo ... la premessa è che NON esiste un metodo unico per verificare se il passo induttivo è vero oppure falso, dobbiamo ogni volta trovare la strada giusta, ok?
Quando ci sono di mezzo delle sommatorie una strategia può essere quello che userò adesso ...
Ipotesi: Assumo che per un generico $n$ questa sia vera$1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i = 3/2-(2/3)^(n+1)$
Tesi: Devo dimostrare che sia vera anche per $n+1$ ovvero $1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i = 3/2-(2/3)^((n+1)+1)$
Proviamo ...
$1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i = 1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i +1/2*(2/3)^((n+1)+1)=$
$=3/2 - (2/3)^(n+1) +1/2*(2/3)^((n+1)+1)=3/2 - 3/2*(2/3)^((n+1)+1) +1/2*(2/3)^((n+1)+1)=3/2 - (2/3)^((n+1)+1)$
CVD
Cordialmente, Alex
Passo Base: n=1
$1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i = 3/2-(2/3)^(n+1)$
Sostituisco $1$ al posto di $n$ e verifico la correttezza:
- a sx $1/2 sum_(i=0)^(1+1) (2/3)^i = 1/2*[(2/3)^0+(2/3)^1+(2/3)^2]=1+2/3+4/9=(9+6+4)/9=19/18$
- a dx $3/2-(2/3)^(1+1)=3/2-4/9=(27-8)/18=19/18$
Ok, questa è andata
Passiamo al Passo induttivo ... la premessa è che NON esiste un metodo unico per verificare se il passo induttivo è vero oppure falso, dobbiamo ogni volta trovare la strada giusta, ok?
Quando ci sono di mezzo delle sommatorie una strategia può essere quello che userò adesso ...
Ipotesi: Assumo che per un generico $n$ questa sia vera$1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i = 3/2-(2/3)^(n+1)$
Tesi: Devo dimostrare che sia vera anche per $n+1$ ovvero $1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i = 3/2-(2/3)^((n+1)+1)$
Proviamo ...
$1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i = 1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i +1/2*(2/3)^((n+1)+1)=$
$=3/2 - (2/3)^(n+1) +1/2*(2/3)^((n+1)+1)=3/2 - 3/2*(2/3)^((n+1)+1) +1/2*(2/3)^((n+1)+1)=3/2 - (2/3)^((n+1)+1)$
CVD
Cordialmente, Alex
Grazie della risposta e della spiegazione.
Tutto chiaro, tranne ciò che hai scritto sotto Proviamo.
Non ho capito il perché hai ripetuto più volte 1/2 e al secondo uguale da dove esce 3/2.
Spiegami insomma quell'ultima parte per favore.
Grazie..
Tutto chiaro, tranne ciò che hai scritto sotto Proviamo.
Non ho capito il perché hai ripetuto più volte 1/2 e al secondo uguale da dove esce 3/2.
Spiegami insomma quell'ultima parte per favore.
Grazie..
"GiovanniMontanaro":
Tutto chiaro, tranne ciò che hai scritto sotto Proviamo.
Cioè tutto
(il passo base son solo conti ...)Il primo passaggio dopo "Proviamo" ti è chiaro? Se no, dove trovi difficoltà?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="GiovanniMontanaro"]Tutto chiaro, tranne ciò che hai scritto sotto Proviamo.
Cioè tutto
(il passo base son solo conti ...)Il primo passaggio dopo "Proviamo" ti è chiaro? Se no, dove trovi difficoltà?
Cordialmente, Alex[/quote]
Ciao, non mi é chiaro tutto ciò che sta scritto sotto proviamo.. In pratica noto che 1/2 si ripete a sinistra del uguale una volta, mentre a destra due volte, mentre 2/3 si ripete tre volte e 3/2 é sparito.. Tutto questo non ho capito.. Per favore spiegatemi questi conti da dove escono fuori..
Grazie..
Partiamo da qua ...
$1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i$
Questa non è altro che una somma di un certo numero di addendi, tutti di una certa forma, moltiplicata (la somma) per $1/2$ ovvero $1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i= 1/2*[(2/3)^0+(2/3)^1+...+(2/3)^(n+1)+(2/3)^((n+1)+1)]$ ... ok?
Nel primo passaggio non faccio altro che separare l'ultimo addendo dal resto ...
$1/2*[(2/3)^0+(2/3)^1+...+(2/3)^(n+1)]+1/2*[(2/3)^((n+1)+1)]$
La "prima parte" di quest'espressione è uguale a $1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i$ perciò la riscrivo così ...
$1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
ma per ipotesi induttiva la "prima" parte di quest'espressione è pari a $ 3/2-(2/3)^(n+1) $ quindi la riscrivo di nuovo
$ 3/2-(2/3)^(n+1) + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
Adesso opero qualche piccola manipolazione algebrica ...
Moltiplico per $1$ il secondo addendo ...
$ 3/2-3/2*2/3*(2/3)^(n+1) + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
che equivale a
$ 3/2-3/2*(2/3)^((n+1)+1) + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
ovvero
$ 3/2-(2/3)^((n+1)+1)$
Ma allora è vero che $ 1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i = 3/2-(2/3)^((n+1)+1) $
Cordialmente, Alex
$1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i$
Questa non è altro che una somma di un certo numero di addendi, tutti di una certa forma, moltiplicata (la somma) per $1/2$ ovvero $1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i= 1/2*[(2/3)^0+(2/3)^1+...+(2/3)^(n+1)+(2/3)^((n+1)+1)]$ ... ok?
Nel primo passaggio non faccio altro che separare l'ultimo addendo dal resto ...
$1/2*[(2/3)^0+(2/3)^1+...+(2/3)^(n+1)]+1/2*[(2/3)^((n+1)+1)]$
La "prima parte" di quest'espressione è uguale a $1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i$ perciò la riscrivo così ...
$1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
ma per ipotesi induttiva la "prima" parte di quest'espressione è pari a $ 3/2-(2/3)^(n+1) $ quindi la riscrivo di nuovo
$ 3/2-(2/3)^(n+1) + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
Adesso opero qualche piccola manipolazione algebrica ...
Moltiplico per $1$ il secondo addendo ...
$ 3/2-3/2*2/3*(2/3)^(n+1) + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
che equivale a
$ 3/2-3/2*(2/3)^((n+1)+1) + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
ovvero
$ 3/2-(2/3)^((n+1)+1)$
Ma allora è vero che $ 1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i = 3/2-(2/3)^((n+1)+1) $
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Partiamo da qua ...
$1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i$
Questa non è altro che una somma di un certo numero di addendi, tutti di una certa forma, moltiplicata (la somma) per $1/2$ ovvero $1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i= 1/2*[(2/3)^0+(2/3)^1+...+(2/3)^(n+1)+(2/3)^((n+1)+1)]$ ... ok?
Nel primo passaggio non faccio altro che separare l'ultimo addendo dal resto ...
$1/2*[(2/3)^0+(2/3)^1+...+(2/3)^(n+1)]+1/2*[(2/3)^((n+1)+1)]$
La "prima parte" di quest'espressione è uguale a $1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i$ perciò la riscrivo così ...
$1/2 sum_(i=0)^(n+1) (2/3)^i + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
ma per ipotesi induttiva la "prima" parte di quest'espressione è pari a $ 3/2-(2/3)^(n+1) $ quindi la riscrivo di nuovo
$ 3/2-(2/3)^(n+1) + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
Adesso opero qualche piccola manipolazione algebrica ...
Moltiplico per $1$ il secondo addendo ...
$ 3/2-3/2*2/3*(2/3)^(n+1) + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
che equivale a
$ 3/2-3/2*(2/3)^((n+1)+1) + 1/2*(2/3)^((n+1)+1)$
ovvero
$ 3/2-(2/3)^((n+1)+1)$
Ma allora è vero che $ 1/2 sum_(i=0)^((n+1)+1) (2/3)^i = 3/2-(2/3)^((n+1)+1) $
Cordialmente, Alex
Ti ringrazio, così va meglio..
Magari ora povro a fare qualche esercizio simile così da prendere confidenza.
Mi domandavo se c'è qualche modo oer verificare la correttezza dell'esercizio..
Saluti,
Giovanni
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