Spiegazione esercizio su gruppo ciclico

[Aletzunny1]

Ciao a tutti! Sto trovando difficoltà nel capire la soluzione di questo problema di algebra 1. Ho scritto i miei dubbi nello svolgimento. Grazie mille a chi mi aiuterà.
Siano dati i gruppi $Inv(Z/12)$, $Inv(Z/16)$. Determinare se questi gruppi sono ciclici.
Il gruppo $Inv(Z/12)$ ha ordine $4$, quindi i suoi elementi possono avere ordine $1$,$ 2$ o $4$. Gli
elementi di $Inv(Z/12)$ sono del tipo $[a]_12$ con a coprimo con $12$, cioè $[1]_12$, $[5]_12$, $[7]_12$ e $[11]_12$: di questi il primo ha ordine $1 $, mentre tutti gli altri hanno ordine $2$, quindi il gruppo non è ciclico.
Come si ottiene l’ordine di queste classi di resto?? Per essere ciclico cosa sarebbe dovuto accadere? Almeno una delle classi di resto avrebbe dovuto avere ordine $4$ ?

Il gruppo $Inv(Z/16)$ ha ordine $8$, quindi i suoi elementi possono avere ordine $1$, $2$, $4$ o $8$. Dobbiamo stabilire se c’è almeno un elemento di ordine $8$: per far ciò basta trovare un elemento $[a]_16$ (con a coprimo con 16) tale che $[a]^4_16$ $!=$ $[1]_16$ .

Perché facciamo questo ragionamento e no uno simile a quello sopra? E perché usiamo $4$ anziché $8$ se questo è l’ordine di $Inv(Z/16)$ ?

Notiamo inoltre che $[-a]^4_16$ $=$ $[a]^4_16$ .
Pertanto $[15]^4_16$ $=$ $[1]^4_16$ $=$ $[1]_16$ , $[13]^4_16$ $=$ $[3]^4_16$ $=$ $[81]_16$ $=$ $[1]_16$, $[11]^4_16$ $=$ $[5]^4_16$ $=$ $([5]^2_16)^2$ $=$ $[9]^2_16$ $=$ $[1]_16$.
Possiamo fermarci qui:
abbiamo trovato $6$ elementi che non hanno periodo $8$: se $Inv(Z/16)$ fosse ciclico, dovrebbe avere
$\varphi(8)$ $=$ $4$ elementi di periodo $8$. Perché proprio $6$ elementi mi bastano? Che ragionamento ha fatto?
Dunque $Inv(Z/16)$ non è ciclico.

Infine scusate la banalità ma in questi esercizi che differenza c'è tra $periodo$ e $ORDINE$ ? Non ho davvero capito

[Aletzunny1]

Nessuno riesce a darmi una mano?
Grazie

[jinsang]

L'esercizio è semplice, devi determinare se quei gruppi sono ciclici.
Sono gruppi piccolissimi, quindi puoi procedere per ispezione diretta, cioè controllando "a mano" le potenze dei vari elementi.
Prova a ragionarci per conto tuo, con calma, senza leggere le soluzioni.
Cosa significa che un gruppo è ciclico? Quanti elementi di ordine n si hanno in un gruppo ciclico?
Queste sono domande di teoria a cui devi saper rispondere e che possono aiutarti nello svolgimento dell'esercizio.
Se non ricordi queste cose ripassa la teoria.

"Aletzunny":Infine scusate la banalità ma in questi esercizi che differenza c'è tra periodo e ORDINE ?

Penso che ordine e periodo in questo contesto siano sinonimi. Io preferisco ordine.

PS: Cerca di essere ordinato e conciso nell'esprimere i tuoi dubbi, è più facile ottenere una risposta

[Aletzunny1]

"jinsang":L'esercizio è semplice, devi determinare se quei gruppi sono ciclici.
Sono gruppi piccolissimi, quindi puoi procedere per ispezione diretta, cioè controllando "a mano" le potenze dei vari elementi.
Prova a ragionarci per conto tuo, con calma, senza leggere le soluzioni.
Cosa significa che un gruppo è ciclico? Quanti elementi di ordine n si hanno in un gruppo ciclico?
Queste sono domande di teoria a cui devi saper rispondere e che possono aiutarti nello svolgimento dell'esercizio.
Se non ricordi queste cose ripassa la teoria.

[quote="Aletzunny"]Infine scusate la banalità ma in questi esercizi che differenza c'è tra periodo e ORDINE ?

Penso che ordine e periodo in questo contesto siano sinonimi. Io preferisco ordine.

PS: Cerca di essere ordinato e conciso nell'esprimere i tuoi dubbi, è più facile ottenere una risposta [/quote]

Purtroppo la teoria ho provata a rivederla più volte ma non capisco proprio come applicarla...

[Aletzunny1]

"Aletzunny":[quote="jinsang"]L'esercizio è semplice, devi determinare se quei gruppi sono ciclici.
Sono gruppi piccolissimi, quindi puoi procedere per ispezione diretta, cioè controllando "a mano" le potenze dei vari elementi.
Prova a ragionarci per conto tuo, con calma, senza leggere le soluzioni.
Cosa significa che un gruppo è ciclico? Quanti elementi di ordine n si hanno in un gruppo ciclico?
Queste sono domande di teoria a cui devi saper rispondere e che possono aiutarti nello svolgimento dell'esercizio.
Se non ricordi queste cose ripassa la teoria.

[quote="Aletzunny"]Infine scusate la banalità ma in questi esercizi che differenza c'è tra periodo e ORDINE ?

Penso che ordine e periodo in questo contesto siano sinonimi. Io preferisco ordine.

PS: Cerca di essere ordinato e conciso nell'esprimere i tuoi dubbi, è più facile ottenere una risposta [/quote]

Purtroppo la teoria ho provata a rivederla più volte ma non capisco proprio come applicarla...[/quote]

E guardando le soluzioni non ho capito lo stesso come procedere! Per questo ho scritto tutti i miei dubbi...sperando che qualcuno mi aiuti

[Aletzunny1]

Ad esempio non ho capito perché in $Inv(Z/12)$ $[1]_12$ ha ordine $1$ mentre $[5]_12$ ha ordine $2$
Se almeno capissi questo

[Studente Anonimo]

"Aletzunny":Ad esempio non ho capito perché in $Inv(Z/12)$ $[1]_12$ ha ordine $1$ mentre $[5]_12$ ha ordine $2$
Se almeno capissi questo

Prova a rispondere te senza guardare negli spoiler
- L'ordine di un elemento di un gruppo cos'è?

Se hai \( G \) un gruppo e \( g \in G \), allora l'ordine di \(g \) è l'intero minimale \( n \) tale che \(g^n =e_G\) dove con \(e_G \) è l'elemento neutro del gruppo

- Qual'è l'ordine dell'elemento neutro di un gruppo?

Se ti è chiaro cos'è l'ordine di un elemento di un gruppo dovrebbe risultarti chiaro che l'ordine dell'elemento neutro è \(1 \).

- Nel gruppo \( \{ [1]_{12}, [5]_{12},[7]_{12},[11]_{12}\} \) chi è l'elemento neutro?
- La legge di moltiplicazione tra questi elementi è data dalle classi di resto \(12 \), quindi ad esempio \( [5]_{12} \cdot [7]_{12} = [35]_{12} = [11]_{12} \).
-Cosa fa \( [5]_{12} \cdot [5]_{12} \) ?

Cos'è un gruppo ciclico?

\(G \) è detto gruppo ciclico se esiste \( g \in G \) tale che \( G = \left< g \right> \).

"Aletzunny":Per essere ciclico cosa sarebbe dovuto accadere? Almeno una delle classi di resto avrebbe dovuto avere ordine $ 4 $ ?

Esattamente, perché?

Il motivo è molto semplice, se \(G \) è di ordine finito ed è ciclico allora esiste \(g \in G \) tale che \( G= \left< g \right> \) e \(g \) genera \(G \) quindi hanno lo stesso ordine.

"Aletzunny":
Perché facciamo questo ragionamento e no uno simile a quello sopra? E perché usiamo $ 4 $ anziché $ 8 $ se questo è l’ordine di $ Inv(Z/16) $ ?

Probabilmente perché è più veloce.
Detto ciò se hai un gruppo \( G \) di ordine \( n\in \mathbb{N} \) ed è ciclico allora è isomorfo a \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \).
Ora l'ordine di un elemento è preservato tramite isomorfismo, conta quanti elementi di ordine \( 8 \) ci sono nel gruppo \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \).

[Aletzunny1]

Allora onestamente le definizioni le conoscevo uguali però appunto ,come scritto sopra, non riesco mai ad applicarle.

Ho capito perché $[5]_12$ ha ordine $2$: infatti $[5]_12$ $*$ $[5]_12$ $=$ $[25]_12$ $=$ $[1]_12]$ cioè l'elemento neutro.

Ora potrei fare lo stesso con $[a]_16$ cercando tra $0$ e $ 16$ le $a$ che sono coprime con $16$. Se $Inv(Z/16)$ fosse ciclico dovrei trovare una classe di resto con ordine $8$ giusto?

[Aletzunny1]

"3m0o":[quote="Aletzunny"]Ad esempio non ho capito perché in $Inv(Z/12)$ $[1]_12$ ha ordine $1$ mentre $[5]_12$ ha ordine $2$
Se almeno capissi questo

Prova a rispondere te senza guardare negli spoiler
- L'ordine di un elemento di un gruppo cos'è?

Se hai \( G \) un gruppo e \( g \in G \), allora l'ordine di \(g \) è l'intero minimale \( n \) tale che \(g^n =e_G\) dove con \(e_G \) è l'elemento neutro del gruppo

- Qual'è l'ordine dell'elemento neutro di un gruppo?

Se ti è chiaro cos'è l'ordine di un elemento di un gruppo dovrebbe risultarti chiaro che l'ordine dell'elemento neutro è \(1 \).

- Nel gruppo \( \{ [1]_{12}, [5]_{12},[7]_{12},[11]_{12}\} \) chi è l'elemento neutro?
- La legge di moltiplicazione tra questi elementi è data dalle classi di resto \(12 \), quindi ad esempio \( [5]_{12} \cdot [7]_{12} = [35]_{12} = [11]_{12} \).
-Cosa fa \( [5]_{12} \cdot [5]_{12} \) ?

Cos'è un gruppo ciclico?

\(G \) è detto gruppo ciclico se esiste \( g \in G \) tale che \( G = \left< g \right> \).

"Aletzunny":Per essere ciclico cosa sarebbe dovuto accadere? Almeno una delle classi di resto avrebbe dovuto avere ordine $ 4 $ ?

Esattamente, perché?

Il motivo è molto semplice, se \(G \) è di ordine finito ed è ciclico allora esiste \(g \in G \) tale che \( G= \left< g \right> \) e \(g \) genera \(G \) quindi hanno lo stesso ordine.

"Aletzunny":
Perché facciamo questo ragionamento e no uno simile a quello sopra? E perché usiamo $ 4 $ anziché $ 8 $ se questo è l’ordine di $ Inv(Z/16) $ ?

Probabilmente perché è più veloce.
Detto ciò se hai un gruppo \( G \) di ordine \( n\in \mathbb{N} \) ed è ciclico allora è isomorfo a \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \).
Ora l'ordine di un elemento è preservato tramite isomorfismo, conta quanti elementi di ordine \( 8 \) ci sono nel gruppo \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \).[/quote]

Infine non ho ben capito l'ultima parte del ragionamento, cioè quella che viene detta più veloce.
Innanzitutto cosa si intende con $Z/(8Z)$ ? E poi che collegamento c'è tra questo e il fatto di ragionare con $[a]^(4)_16$ e cercare proprio $6$ elementi che non vadano bene?
Grazie

[Studente Anonimo]

\( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} := \{ [0]_8, [1]_8 , [2]_8 , \ldots, [7]_8 \} \) per semplicità scriverò solo \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \} \)sono le classi di resto \( 8 \) con l'addizione il cui elemento neutro è \( 0 \). Quindi \( 5 + 4 = 1 \)
Puoi osservare che è un gruppo ciclico. Dimostralo!
Ora se hai un altro gruppo ciclico \(G \) di ordine \( 8 \) esiste un isomorfismo \( \phi :G \to \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \)
Hai che un isomorfismo preserva l'ordine di un elemento.
Dimostrazione:

Se hai un isomorfismo \( \phi : G \to G' \), due gruppi di elemento neutro rispettivamente \(e\) ed \(e'\)
Se hai \( g \in G \) di ordine \( n \) hai che \( g^n = e \) pertanto tramite \(\phi(e)= \phi(g^n)= \phi(g)^n = e'\)
Pertanto l'ordine di \( \phi(g) \) divide l'ordine di \( g \). Diciamo che l'ordine di \( \phi(g) \) è \( k \leq n\).
Ma siccome è un isomorfismo puoi invertire il ragionamento
\(\phi^{-1}(e')= \phi^{-1} ( \phi(g)^k ) =\phi^{-1} ( \phi(g) )^k = g^k = e \)
pertanto l'ordine di \( g \) divide l'ordine di \( \phi(g) \) e quindi hai che \( n = k \).

Quindi se supponi per assurdo che il tuo gruppo di ordine \( 8 \) è ciclico deve contenere lo stesso numero di elementi di ordine \( 8 \) che in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \).

Ora determina gli ordini degli elementi di \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \), quindi determina gli ordini di \(0,1,2,3,4,5,6,7\).

Quanti elementi di ordine \(1 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?
Quanti elementi di ordine \(2 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?
Quanti elementi di ordine \(4 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?
Quanti elementi di ordine \(8 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?

Quanti elementi di ordine \(4 \) hai nel tuo gruppo di ordine \( 8 \) ?
Alla luce di quanto detto qui sopra può essere ciclico?

[Aletzunny1]

Come faccio a determinare il periodo di $Z/(8Z)$ ?

Perché di ${0,1,2,3,4,5,6,7}$ hanno periodo rispettivamente $1,8,4,8,2,8,4,8$ se non ho sbagliato

[Studente Anonimo]

"Aletzunny":Come faccio a determinare il periodo di $Z/(8Z)$ ?

Perché di ${0,1,2,3,4,5,6,7}$ hanno periodo rispettivamente $1,8,4,8,2,8,4,8$ se non ho sbagliato

Si giusto, ma com'è definito l'ordine di un gruppo?
Se sai la definizione sai anche dirmi qual'è l'ordine di \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\)

[Aletzunny1]

"3m0o":[quote="Aletzunny"]Come faccio a determinare il periodo di $Z/(8Z)$ ?

Perché di ${0,1,2,3,4,5,6,7}$ hanno periodo rispettivamente $1,8,4,8,2,8,4,8$ se non ho sbagliato

Si giusto, ma com'è definito l'ordine di un gruppo?
Se sai la definizione sai anche dirmi qual'è l'ordine di \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\)[/quote]

Allora l'ordine di un gruppo è il numero di elementi che esso contiene quindi direi che l'ordine di $ZZ/(8ZZ)$ è $8$

Però, perdonami, non sto ancora capendo il perché di $[a]^4_16 != [1]_16$ usando $4$ e il perché di cercare proprio $6$ elementi che non hanno periodo $8$

[Aletzunny1]

Ho appena riletto tutta la teoria ma non ho davvero compreso il motivo di un ragionamento così...

[Studente Anonimo]

"3m0o":

Quanti elementi di ordine \(1 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?
Quanti elementi di ordine \(2 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?
Quanti elementi di ordine \(4 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?
Quanti elementi di ordine \(8 \) hai in \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \) ?

Quanti elementi di ordine \(4 \) hai nel tuo gruppo di ordine \( 8 \) ?
Alla luce di quanto detto qui sopra può essere ciclico?

[Aletzunny1]

Si hanno $2$ elementi di ordine $4$ nel gruppo di ordine $8$...

Ma perché mi interessano gli elementi di ordine $4$ se l'ordine del gruppo è $8$?

E non sto capendo...per essere ciclico dovrei trovare almeno un elemento di ordine $8$ o sbaglio?
Grazie

[Studente Anonimo]

"Aletzunny":Si hanno $2$ elementi di ordine $4$ nel gruppo di ordine $8$...

Ma perché mi interessano gli elementi di ordine $4$ se l'ordine del gruppo è $8$?

E non sto capendo...per essere ciclico dovrei trovare almeno un elemento di ordine $8$ o sbaglio?
Grazie

In \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) hai 2 elementi di ordine \(4\), oppure in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) hai 4 elementi di ordine \( 8 \).

Il tuo gruppo invece ha 6 elementi di ordine \(4 \) già questo ti basterebbe per concludere che non è ciclico poiché se per assurdo il tuo gruppo \(G \) fosse ciclico ed è di ordine \(8\) allora esiste un isomorfismo \(\phi : G \to \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \).
In realtà ti bastano \(3 \) elementi di ordine 4 del tuo gruppo \(G \) prendi ad esempio
\( [15]_{16} \), \( [13]_{16} \), \( [3]_{16} \), sono di ordine \(4 \) ma ora considera \( \phi([15]_{16}) \in \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \), \( \phi([13]_{16}) \in \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \),\( \phi([3]_{16}) \in \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) sono immagine tramite un isomorfismo allora significa che
\( \phi([15]_{16}) ,\phi([13]_{16}) ,\phi([3]_{16}) \) sono di ordine \(4 \) in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) poiché \( \phi \) è un isomorfismo e quindi preserva l'ordine degli elementi.
Ma in \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \) ci sono solo due elementi di ordine \(4\). Assurdo!

Il ragionamento della soluzione è analogo al mio qui sopra ma ragiona con l'ordine \(8\).
Supponaimo che \(G \) è ciclico, allora esiste almeno un elemento di ordine \(8\), abbiamo mostrato che ci sono \(6\) elementi di ordine \(4\) e l'elemento neutro ha ordine \(1\), quindi mi rimane un unico elemento dentro \(G \) e questo ha ordine 8 ed è l'unico ad avere ordine \(8\) (l'ordine del gurppo è 8 e abbiamo 7 elementi che hanno ordine diverso da 8), però se è ciclico è isomorfo a \( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \), quindi \( G \) dovrebbe contenere \(4 \) elementi di ordine \( 8 \), ma ne ha uno solo. Assurdo!

[Aletzunny1]

Capito! Grazie mille per le tue risposte precise e la gentilezza

[Studente Anonimo]

Detto ciò lo reputo un modo contorto per dire che il tuo gruppo non è ciclico anche perché potevi tranquillamente controllare che gli 8 elementi non fossero di ordine 8 semplicemente.

[Aletzunny1]

Ciò che ho fatto in un esercizio successivo quando mi è capitato $Inv(Z/30)$ che avendo sempre ordine $8$ mi ha permesso di metterci direttamente le "mani"