Spazi vettoriali e Campi
Scusate ragazzi sono un po' arrugginito con gli spazi vettoriali, vi propongo questo esercizio. 
Sia F un campo, e sia F[x] l'anello dei polinomi in x su F. Sia g(x), di grado n, un polinomio di F[x] e V = (g(x)) l'ideale generato da g(x) in F[x].
Dimostrare che F[x]/V è uno spazio vettoriale di dimensione n su F.
Sia F un campo, e sia F[x] l'anello dei polinomi in x su F. Sia g(x), di grado n, un polinomio di F[x] e V = (g(x)) l'ideale generato da g(x) in F[x].
Dimostrare che F[x]/V è uno spazio vettoriale di dimensione n su F.
Risposte
Le operazioni con cui [tex]F[x]/(g(x))[/tex] diventa uno spazio vettoriale sono quelle naturali (ricorda che il quoziente di uno spazio vettoriale per un suo sottospazio è ancora uno spazio vettoriale!!!!).
Per la dimensione basta ricordare la divisione euclidea: preso un qualsiasi polinomio [tex]p(x) \in F[x][/tex], possiamo scrivere [tex]p(x) = g(x) q(x) + r(x)[/tex] con [tex]r(x) = 0[/tex] oppure [tex]0 \le \deg r(x) < \deg g(x)[/tex]. Quindi ogni elemento di [tex]F[x][/tex] ha un rappresentante tra i polinomi di grado minore o uguale a [tex]n-1[/tex]. E questo ci dice che [tex]1, x, \ldots, x^{n-1}[/tex] generano [tex]F[x]/(g(x))[/tex]. Ti lascio l'esercizio abbastanza stupido di controllarne l'indipendenza.
Per la dimensione basta ricordare la divisione euclidea: preso un qualsiasi polinomio [tex]p(x) \in F[x][/tex], possiamo scrivere [tex]p(x) = g(x) q(x) + r(x)[/tex] con [tex]r(x) = 0[/tex] oppure [tex]0 \le \deg r(x) < \deg g(x)[/tex]. Quindi ogni elemento di [tex]F[x][/tex] ha un rappresentante tra i polinomi di grado minore o uguale a [tex]n-1[/tex]. E questo ci dice che [tex]1, x, \ldots, x^{n-1}[/tex] generano [tex]F[x]/(g(x))[/tex]. Ti lascio l'esercizio abbastanza stupido di controllarne l'indipendenza.
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