Spazi Omogenei (sottogruppi normali o invarianti)
sto studiando gli spazi omogenei e mi viene detto che "SO(2) NON è sottogruppo invariante di SO(3)"... diciamo che intuitivamente non riesco a capire. Applicando la definizione di Gr. Inv. continua a risultarmi il contrario! In altre parole se io mi immagino un vettore su cui faccio agire prima SO(3) poi SO(2), e un altro vettore su cui commuto le due operazioni, quindi prima SO(2) poi SO(3), ho che graficamente ottengo lo stesso risultato e questo non va bene se SO(2) è non invariante...
Risposte
Ciao,
io gli spazi omogenei non li ho mai studiati (sono andata a leggere la def.) però mi sembra che la domanda che poni è più generale.
Non so se il mio intervento è pertinente, ma provo a dire la mia rispetto a quello che ho capito del tuo dubbio. (Sottogruppo invariante sarebbe sottogruppo normale?)
$SO2$ è leggibile come sottogruppo di $SO3$ nel momento in cui fissi un asse di rotazione $z$, giusto?
Quindi in sostanza dire che il sottogruppo è normale vuol dire che se prendiamo $A in M \sim SO2$ e $B in SO3$ deve succedere che $BAB^{-1}$ è ancora una rotazione rispetto allo stesso asse $z$.
Direi che l'intuito suggerisce appunto che in generale non lo è, e fissando un paio di numeri si potrebbe tirare fuori un esempio.
Tu hai fatto delle prove?
io gli spazi omogenei non li ho mai studiati (sono andata a leggere la def.) però mi sembra che la domanda che poni è più generale.
Non so se il mio intervento è pertinente, ma provo a dire la mia rispetto a quello che ho capito del tuo dubbio. (Sottogruppo invariante sarebbe sottogruppo normale?)
$SO2$ è leggibile come sottogruppo di $SO3$ nel momento in cui fissi un asse di rotazione $z$, giusto?
Quindi in sostanza dire che il sottogruppo è normale vuol dire che se prendiamo $A in M \sim SO2$ e $B in SO3$ deve succedere che $BAB^{-1}$ è ancora una rotazione rispetto allo stesso asse $z$.
Direi che l'intuito suggerisce appunto che in generale non lo è, e fissando un paio di numeri si potrebbe tirare fuori un esempio.
Tu hai fatto delle prove?
Normale o invariante sono la stessa cosa. SO(3) ha 3 parametri (angoli di eulero) che se vogliamo corrispondono alle rotazioni SO(2) attorno ai 3 assi. Dunque se SO(2) fosse invariante allora la composizione BAB^(-1) sarebbe ancora un elemento SO(2)... il fatto è che non mi sembra! Se tu prendi un vettore unitario sulla sfera, gli fai fare una rotazione di SO(3), quindi nn atttorno ad un asse articolare, poi lo ruoti attorno a z (quindi usi SO(2)) e poi applichi la rotazione SO(3) di prima nel verso contrario, allora ottieni sostanzialmete ancora una rotazione SO(2) (prova a fare un disegno).
Però in tutto questo ci deve essere qualcosa che non va..
Però in tutto questo ci deve essere qualcosa che non va..
"Yak52":Secondo le definizioni di sottogruppo invariante che conosco no!
Normale o invariante sono la stessa cosa...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo