Sottoinsiemi finiti dell'immagine di una funzione

[thedarkhero]

Siano $A$ e $B$ due insiemi e sia $f : A \to B$ una funzione.
Sia $C$ un sottoinsieme di $A$.
Voglio mostrare che i sottoinsiemi finiti di $f(C)$ sono tutti e soli gli insiemi della forma $f(D)$ con $D$ sottoinsieme finito di $C$.
Ho dimostrato questo fatto mostrando la doppia inclusione, ma mi chiedo se sia possibile dimostrarlo in modo più semplice e diretto.

[cagakiwi]

È praticamente immediato: basta scegliere una controimmagine per ciascun elemento; il viceversa è ovvio.