Sottogruppo S16 e contenente..
Ciao Raga:)potreste dirmi come risolvere il secondo punto del primo esercizio please ? 
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/Tra ... cia_30.pdf Ho trovato che l'intersezione tra i due sottogruppi ciclici è uguale proprio a < seconda permutazione> ed ora??
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/Tra ... cia_30.pdf Ho trovato che l'intersezione tra i due sottogruppi ciclici è uguale proprio a < seconda permutazione> ed ora??
Risposte
Ok, se non ho fatto i calcoli sbagliati risulta \(\displaystyle \tau = \sigma^{70} \) e quindi \(\displaystyle \langle\sigma \rangle \cap \langle\tau \rangle = \langle\tau \rangle \). Sono stanco quindi controlla...
Riguardo al secondo punto devi trovare un sottogruppo di ordine 24 che contiene \(\displaystyle \langle\tau\rangle \). Tanto per incominciare \(\displaystyle |\langle\tau\rangle| = o(\tau) = 12 \).
Siccome non mi viene niente di meglio direi che puoi semplicemente considerare il sottogruppo \(\displaystyle \langle (1,2) \rangle\times \langle \tau \rangle = \langle (1,2), \tau \rangle\). Ho scritto la prima forma per esprimere meglio che è isomorfo a \(\displaystyle \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{12} \).
Dubbi?
Riguardo al secondo punto devi trovare un sottogruppo di ordine 24 che contiene \(\displaystyle \langle\tau\rangle \). Tanto per incominciare \(\displaystyle |\langle\tau\rangle| = o(\tau) = 12 \).
Siccome non mi viene niente di meglio direi che puoi semplicemente considerare il sottogruppo \(\displaystyle \langle (1,2) \rangle\times \langle \tau \rangle = \langle (1,2), \tau \rangle\). Ho scritto la prima forma per esprimere meglio che è isomorfo a \(\displaystyle \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{12} \).
Dubbi?
Scusami ma non capisco il perchè di "considerare il sottogruppo ⟨(1,2)⟩×⟨τ⟩=⟨(1,2),τ⟩. Ho scritto la prima forma per esprimere meglio che è isomorfo a Z2×Z12"..:S
Semplicemente perché \(\displaystyle (1,2) \) commuta con \(\displaystyle \tau \) (cicli disgiunti) quindi il gruppo generato dai due elementi è il prodotto diretto del sottogruppo \(\displaystyle \langle(1,2)\rangle \) e di \(\displaystyle \langle\tau\rangle \). L'ordine è dato dall'ordine dei due elementi moltiplicati tra di loro.
In pratica io posso scrivere un elemento \(\displaystyle g\in \langle(1,2), \tau \rangle \) come \(\displaystyle (1,2)^{\varepsilon}\tau^n \) con \(\displaystyle \varepsilon \in \{0, 1\} \) e \(\displaystyle 0 < n < 12 \). È evidente quindi che ci sono 12 possibilità.
P.S: usa le formule
In pratica io posso scrivere un elemento \(\displaystyle g\in \langle(1,2), \tau \rangle \) come \(\displaystyle (1,2)^{\varepsilon}\tau^n \) con \(\displaystyle \varepsilon \in \{0, 1\} \) e \(\displaystyle 0 < n < 12 \). È evidente quindi che ci sono 12 possibilità.
P.S: usa le formule
Ma n può essere anche = 0,giusto?! quindi ce ne sono proprio 24 non 12 o sbaglio? 
Eh non ho capito in ke senso commuta (1,2) con tau.. vuol dire ke (1,2) è l'unico gruppo ke moltiplicato per tau fà si ke il prodotto dia commutativo? 
Eh non ho capito in ke senso commuta (1,2) con tau.. vuol dire ke (1,2) è l'unico gruppo ke moltiplicato per tau fà si ke il prodotto dia commutativo?
"Rolly92":
Ma n può essere anche = 0,giusto?! quindi ce ne sono proprio 24 non 12 o sbaglio?
No, semplicemente cicli disgiunti commutano e \(\displaystyle \tau \) fissa \(\displaystyle 1 \) e \(\displaystyle 2 \). Avrei potuto prendere anche \(\displaystyle (1,7)(9,13) \) al posto di \(\displaystyle (1,2) \). E varie altre possibilità.
Evitando lunghi calcoli, io ho ragionato nel seguente modo:
sicuramente l'intersezione $$ $nn$ $$, contiene il stgp generato dal ciclo $<(3,8,4)>$ $=$ $<(8,4,3)>$;
inoltre sapendo che $(1,2,3...(n-1),n)^-1= (n,(n-1)....3,2,1)$, osservo che il ciclo
$(5,11,12,6,10,15,14,16)^-1$ $=(5,11,12,6,10,15,14,16)^7=(16,14,15,10,6,12,11,5)$ ed osservo ancora che
$(16,14,15,10,6,12,11,5)^2=(16,15,6,11)(14,10,12,5)$ $=(16,15,6,11)^5(14,10,12,5)^5$ posso quindi facilmente concludere che
$((sigma^5)^7)^2$$=tau$, pertanto é giusto $sigma^70=tau$.
Per quanto riguarda il punto (b) se considero l'elemento $sigma^5$ $in$ $ S_16$, il sottogruppo da esso generato $$ consta di $24$ elementi distinti, infatti $(sigma^5)^24=sigma^120=I_(S_16)$, cioè $o(sigma^5)=24$, inoltre contiene $tau=(sigma^5)^14$ ed il punto (b) è così soddisfatto!
Spero che ciò che ho postato sia giusto, diversamente attendo che qualcuno proponga le necessarie correzioni!
Grazie!
sicuramente l'intersezione $
inoltre sapendo che $(1,2,3...(n-1),n)^-1= (n,(n-1)....3,2,1)$, osservo che il ciclo
$(5,11,12,6,10,15,14,16)^-1$ $=(5,11,12,6,10,15,14,16)^7=(16,14,15,10,6,12,11,5)$ ed osservo ancora che
$(16,14,15,10,6,12,11,5)^2=(16,15,6,11)(14,10,12,5)$ $=(16,15,6,11)^5(14,10,12,5)^5$ posso quindi facilmente concludere che
$((sigma^5)^7)^2$$=tau$, pertanto é giusto $sigma^70=tau$.
Per quanto riguarda il punto (b) se considero l'elemento $sigma^5$ $in$ $ S_16$, il sottogruppo da esso generato $
Spero che ciò che ho postato sia giusto, diversamente attendo che qualcuno proponga le necessarie correzioni!
Grazie!
Per il punto a) la mia conclusione è stata la stessa tua e i ragionamenti equivalenti. Per il punto due non so perché non avevo provato a prenderlo dentro \(\displaystyle \langle \sigma \rangle\) 
... Ero proprio stanco. In ogni caso il mio ragionamento era corretto anche se ovviamente portava ad un altro sottogruppo.
... Ero proprio stanco. In ogni caso il mio ragionamento era corretto anche se ovviamente portava ad un altro sottogruppo.
x@Vict85. Si, le tue soluzioni sono ambedue esatte!
Comunque mi sono reso conto , almeno per quanto mi riguarda, che é facile sbagliarsi quando si ha a che fare con le permutazioni, infatti precedentemente e sempre per lo stesso esercizio, sul punto (a), avevo si eseguito il corretto
ragionamento per ridurre al minimo le operazioni di calcolo, d'oltre canto basta vedere i diversi cicli come generatori di sottogruppi ciclici, ma nonostante ciò ho sbagliato un banale calcolo di esponenti che mi aveva portato ad un risultato errato, e grazie al tuo esatto rsultato riportato ($sigma^70=tau$), ho potuto correggere ed esporre correttamente il mio ragionamento!
Grazie!
Comunque mi sono reso conto , almeno per quanto mi riguarda, che é facile sbagliarsi quando si ha a che fare con le permutazioni, infatti precedentemente e sempre per lo stesso esercizio, sul punto (a), avevo si eseguito il corretto
ragionamento per ridurre al minimo le operazioni di calcolo, d'oltre canto basta vedere i diversi cicli come generatori di sottogruppi ciclici, ma nonostante ciò ho sbagliato un banale calcolo di esponenti che mi aveva portato ad un risultato errato, e grazie al tuo esatto rsultato riportato ($sigma^70=tau$), ho potuto correggere ed esporre correttamente il mio ragionamento!
Grazie!
Grazie mille ad entrambi! cmq francicko sei stato chiarissimo!! 
cmq francicko sei stato chiarissimo!!
Mi chiedo come mai l'esercizio che avevo risolto e postato correttamente, adesso non è più leggibile??
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