Sottogruppo normale di $A_4$
Considero il gruppo $A_4$ delle permutazioni pari di 4 elementi e il sottogruppo $V={"id",(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}$.
Voglio mostrare che $V$ è normale in $A_4$.
Un modo è applicare alla lettera la definizione e dunque provare che tutti gli elementi del tipo $sigma^-1vsigma$ con $sigma\inA_4$ e $v\inV$ stanno in $V$, ma questo lo escludo.
Ho pensato al teorema di corrispondenza ma essendo che esistono sottogruppi di $A_4$ non normali come $<(1,2,3)>$ non mi viene in aiuto.
Il teorema di omomorfismo non mi è di aiuto perchè non so costruire un omomorfismo che abbia per nucleo $V$.
In che altra maniera potrei fare?
Voglio mostrare che $V$ è normale in $A_4$.
Un modo è applicare alla lettera la definizione e dunque provare che tutti gli elementi del tipo $sigma^-1vsigma$ con $sigma\inA_4$ e $v\inV$ stanno in $V$, ma questo lo escludo.
Ho pensato al teorema di corrispondenza ma essendo che esistono sottogruppi di $A_4$ non normali come $<(1,2,3)>$ non mi viene in aiuto.
Il teorema di omomorfismo non mi è di aiuto perchè non so costruire un omomorfismo che abbia per nucleo $V$.
In che altra maniera potrei fare?
Risposte
"thedarkhero":
Un modo è applicare alla lettera la definizione e dunque provare che tutti gli elementi del tipo $sigma^-1vsigma$ con $sigma\inA_4$ e $v\inV$ stanno in $V$, ma questo lo escludo.
e perchè no?
Allora... $A_4$ posside $12$ elementi di cui $4$ appartengono a $V$ quindi devi fare la prova con gli altri $8$ elementi. Quali sono questi $8$ elementi che non stanno in $V$? La struttura ciclica di una permutazione pari in $S_4$ può essere solo di due tipi: ($3$-ciclo) oppure ($2$-ciclo)($2$-ciclo), ma questi ultimi stanno tutti in $V$. Quindi devi coniugare per i $3$-cicli che sono 8$x \quad \quad$ | $x^{-1}$
----------------------
$(123)$ | $(321)$
$(124)$ | $(421)$
$(134)$ | $(431)$
$(234)$ | $(432)$
Ovviamente se non sei fesso non ti metti a calcolare i coniugati di $id$ xD E ti rimangono da fare "solo" $8 xx 3 = 24$ prove.
Altrimenti puoi usare la teoria di Sylow ...
P.S. Oppure rifletti che $V$ ha indice $3$ in $A_4$ e che $3$ è il più piccolo primo che divide l'ordine di $A_4$. Quindi applica questo lemma
@perplesso Esagerato!
P.S.: Complimenti per il suggerimento.
@thedarkhero Puoi utilizzare il teorema di struttura delle classi di coniugio in un gruppo simetrico.
P.S.: Complimenti per il suggerimento.
@thedarkhero Puoi utilizzare il teorema di struttura delle classi di coniugio in un gruppo simetrico.
Grazie mille!
Non era tanto una questione di tempo risparmiato, era proprio il fatto di provare la normalità di $V$ su ogni possibile prodotto che non mi sembrava abbastanza elegante.
Mi ha convince invece il fatto di considerare che per il teorema di Lagrange $|A_4|=|A_4:V||V|$ si ha $12=|A_4:V|*4$ ovvero che l'indice $|A_4:V|$ vale $3$.
Ma 3 non è il più piccolo primo a dividere $|A_4|=12$ in quanto 2 è primo e divide 12...quindi non posso applicare il lemma che mi hai suggerito giusto?
Non era tanto una questione di tempo risparmiato, era proprio il fatto di provare la normalità di $V$ su ogni possibile prodotto che non mi sembrava abbastanza elegante.
Mi ha convince invece il fatto di considerare che per il teorema di Lagrange $|A_4|=|A_4:V||V|$ si ha $12=|A_4:V|*4$ ovvero che l'indice $|A_4:V|$ vale $3$.
Ma 3 non è il più piccolo primo a dividere $|A_4|=12$ in quanto 2 è primo e divide 12...quindi non posso applicare il lemma che mi hai suggerito giusto?
Oddio allora sto fuso! è incredibile cosa riesco a scrivere quando ho sonno. xD Come non detto, scusa thedarkhero e grazie armando!
Ecco un omomorfismo "naturale" $A_4 \rightarrow A_3$:
Siano $p_1$, $p_2$ e $p_3$ le tre partizioni dell'insieme $\{1,2,3,4\}$
in due sottoinsiemi di $2$ elementi. Vale a dire
$p_1 = \{\{1,2\},\{3,4\}\}$, $p_2 = \{\{1,3\},\{2,4\}\}$ e $p_3 = \{\{1,4\},\{2,3\}\}$.
Allora $S_4$ agisce in modo naturale sull'insieme $X = \{p_1,p_2,p_3\}$.
Per esempio, per $\sigma\in S_4$ si ha che
$sigma(p_1) = \{\{sigma(1),sigma(2)\},\{sigma(3),sigma(4)\}\}$, ... etc.
La mappa indotta $S_4 \rightarrow S_X$ e' un omomorfismo
suriettivo $S_4 \rightarrow S_3$. La sua restrizione ad $A_4$ e' un omomorfismo
suriettivo $A_4 \rightarrow A_3$. Il suo nucleo e' il gruppo di Klein $V_4$.
Siano $p_1$, $p_2$ e $p_3$ le tre partizioni dell'insieme $\{1,2,3,4\}$
in due sottoinsiemi di $2$ elementi. Vale a dire
$p_1 = \{\{1,2\},\{3,4\}\}$, $p_2 = \{\{1,3\},\{2,4\}\}$ e $p_3 = \{\{1,4\},\{2,3\}\}$.
Allora $S_4$ agisce in modo naturale sull'insieme $X = \{p_1,p_2,p_3\}$.
Per esempio, per $\sigma\in S_4$ si ha che
$sigma(p_1) = \{\{sigma(1),sigma(2)\},\{sigma(3),sigma(4)\}\}$, ... etc.
La mappa indotta $S_4 \rightarrow S_X$ e' un omomorfismo
suriettivo $S_4 \rightarrow S_3$. La sua restrizione ad $A_4$ e' un omomorfismo
suriettivo $A_4 \rightarrow A_3$. Il suo nucleo e' il gruppo di Klein $V_4$.
Giusto! Grazie mille 
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