Sottogruppo normale
Ciao a tutti, 
potreste aiutarmi con questo esercizio?
Sia G gruppo moltiplicativo e H un suo sottogruppo tale che H = <$xyx^-1y^-1: x, y in G$>
Dimostrare che H è un sottogruppo normale di G.
Vi ringrazio
potreste aiutarmi con questo esercizio?Sia G gruppo moltiplicativo e H un suo sottogruppo tale che H = <$xyx^-1y^-1: x, y in G$>
Dimostrare che H è un sottogruppo normale di G.
Vi ringrazio
Risposte
Ciao, benvenuta nel forum.
Sarebbe gradito, e coerente col regolamento, che tu proponessi elaborazioni e tentativi di soluzione.
Sarebbe gradito, e coerente col regolamento, che tu proponessi elaborazioni e tentativi di soluzione.
Quello e' il sottogruppo derivato ed e' addirittura caratteristico.
Scusa, non mi ero accorta che dovessi dare un tentativo di soluzione. Praticamente ho applicato la definizione cioè dato $ g in G, h in H$ $ghg^-1 in H $ quindi:
$ g(xyx^-1y^-1)g^-1 = gx(g^-1g)y(g^-1g)x^-1(g^-1g)y^-1g^-1 = (gxg^-1)(gyg^-1)(gx^-1g^-1)(gy^-1g^-1) = (gxg^-1)(gyg^-1)(gxg^-1)^-1(gyg^-1)^-1$ che è appunto un elemento di H...non ero sicura che fosse giusta!
Grazie per avermi fatto notare che è il sottogruppo derivato!
$ g(xyx^-1y^-1)g^-1 = gx(g^-1g)y(g^-1g)x^-1(g^-1g)y^-1g^-1 = (gxg^-1)(gyg^-1)(gx^-1g^-1)(gy^-1g^-1) = (gxg^-1)(gyg^-1)(gxg^-1)^-1(gyg^-1)^-1$ che è appunto un elemento di H...non ero sicura che fosse giusta!
Grazie per avermi fatto notare che è il sottogruppo derivato!
Non basta! Mica tutti gli elementi di $H$ sono del tipo $xyx^{-1}y^{-1}$!!
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