Sottogruppo normale
In $S_4$ se considero il sottogruppo $H $ $ <(12)(34),(13)(24) > = { e, (12 )(34),(13 )(24),(14 )(23)} $ come posso fare per dimostrare che si tratta di un sottogruppo normale utilizzando un omomorfismo.
Io sono arrivato a questo, basandomi sulla definizione del $Kern$ di un gruppo
$pi(e) = eH = e$
$pi(12)(34) = (12)(34)H = e$
$pi(13)(24) = (13)(24)H = e$
$pi(14)(23) = (14)(23)H = e$
Ne segue che il $Ker(pi)= H$
Grazie
Io sono arrivato a questo, basandomi sulla definizione del $Kern$ di un gruppo
$pi(e) = eH = e$
$pi(12)(34) = (12)(34)H = e$
$pi(13)(24) = (13)(24)H = e$
$pi(14)(23) = (14)(23)H = e$
Ne segue che il $Ker(pi)= H$
Grazie
Risposte
Ci sono modi più facili per dimostrare che quel particolare sottogruppo è normale. Generalmente usi quel teorema quando il sottogruppo \(H\) è effettivamente definito come il \(\ker f\) di un omomorfismo. Per esempio, lo puoi usare per \(A_n\lhd S_n\).
E' probabilmente possibile trovare l'omomorfismo in questione ragionando sul significato geometrico dei due sottogruppi, ma non lo trovo una cosa immediata.
E' probabilmente possibile trovare l'omomorfismo in questione ragionando sul significato geometrico dei due sottogruppi, ma non lo trovo una cosa immediata.
Ti riferivi per caso, per esempio:
dato $g in G$ faccio vedere che $gHg^(-1)=H$. Dal momento che $g$ é stato scelto arbitrariamente non importa farlo vedere con
tutti i $g in G$ É cosí?
Riguardo ad $A_n$ non arrivo subito a dire che si tratta di un sottogruppo normale di $S_n$ perché ha indice 2.
Comunque, come fare, in questo caso, per vedere che si tratta di un gruppo normale usando l'omomorfismo.
Mi puoi dare uno spunto, poi lo guardo meglio.
Grazie tante,
dato $g in G$ faccio vedere che $gHg^(-1)=H$. Dal momento che $g$ é stato scelto arbitrariamente non importa farlo vedere con
tutti i $g in G$ É cosí?
Riguardo ad $A_n$ non arrivo subito a dire che si tratta di un sottogruppo normale di $S_n$ perché ha indice 2.
Comunque, come fare, in questo caso, per vedere che si tratta di un gruppo normale usando l'omomorfismo.
Mi puoi dare uno spunto, poi lo guardo meglio.
Grazie tante,
Nel caso specifico di $H$ puoi far vedere che è unione di due classi di coniugio, rispettivamente ${1}$ e ${(12)(34),(13)(24),(14)(23)}$
Esiste un criterio che vale per tutti i gruppi abbastanza usato nel caso dei gruppi simmetrici $S_n$ (quello citato da Cantor99 )
Un sottogruppo è normale se e solo se è unione delle classi di coniugio dei suoi elementi.
Per i gruppi simmetrici è relativamente facile trovare le classi di coniugio basta cercare le permutazioni con stessa struttura ciclica.
Un sottogruppo è normale se e solo se è unione delle classi di coniugio dei suoi elementi.
Per i gruppi simmetrici è relativamente facile trovare le classi di coniugio basta cercare le permutazioni con stessa struttura ciclica.
A tal proposito faccio un esempio per cercare di capire meglio:
$1)$
considero il sottogruppo $G$ di $S_15$ : $G=<γσγ^(−1),γ∈S15,σ=
(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10) >$ , e provo a dimostrare se si tratta o no di un sottogruppo normale di $ A_15$ .
La classe di coniugio di $σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ e ha ordine $151351200$ mentre $ordA_15=653837184000$
Ebbene $C_o(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ é un sottogruppo di $A_n$, ma non é normale perché non é l'unione di classi di coniugio.
$2)$
Comunque l'unione di classi di coniugio deve essere un d visore del gruppo di partenza per essere considerata
sottogruppo normale
Cosa ne pensate!
Grazie
$1)$
considero il sottogruppo $G$ di $S_15$ : $G=<γσγ^(−1),γ∈S15,σ=
(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10) >$ , e provo a dimostrare se si tratta o no di un sottogruppo normale di $ A_15$ .
La classe di coniugio di $σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ e ha ordine $151351200$ mentre $ordA_15=653837184000$
Ebbene $C_o(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ é un sottogruppo di $A_n$, ma non é normale perché non é l'unione di classi di coniugio.
$2)$
Comunque l'unione di classi di coniugio deve essere un d visore del gruppo di partenza per essere considerata
sottogruppo normale
Cosa ne pensate!
Grazie
Sicuro che quell'elemento ha quell'ordine?
"vict85":Sono d'accordo anch'io; per ciò, propongo di dimostrare che la proiezione canonica \(\displaystyle\pi\) di \(\displaystyle\mathrm{Alt}4\) sull'insieme quoziente \(\displaystyle\mathrm{Alt}4/V_4\) è effettivamente un omomorfismo di gruppi con \(\displaystyle\ker\pi=V_4\).
...E' probabilmente possibile trovare l'omomorfismo in questione ragionando sul significato geometrico dei due sottogruppi, ma non lo trovo una cosa immediata.
La relazione di equivalenza è quella usuale, ovvero: \(\displaystyle a,b\in\mathrm{Alt}4,\,a\sim b\iff ab^{-1}\in V_4\).
Andiamo con calma, non voglio fare confusione. Intanto grazie.
Allora, la classe di coniugio di $G= <γσγ−1,γ∈S15,σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10) $ non é data da $(15!)/(4^1*1!*3^2*2!*1^5*5!)$
Allora, la classe di coniugio di $G= <γσγ−1,γ∈S15,σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10) $ non é data da $(15!)/(4^1*1!*3^2*2!*1^5*5!)$
Scusa io intendevo l'ordine di $\sigma$ avevo letto male... .
Mi saró espressosso male. Comunque per concludere il discorso è poter andare avanti,
La classe di coniugio di $σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ ha ordine $151351200$ mentre $ordA15=653837184000$
Ebbene $Co(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ é un sottogruppo di$ An$, ma non é un sottogruppo normale perché non é l'unione di classi di coniugio.
Dico bene?
Grazie
La classe di coniugio di $σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ ha ordine $151351200$ mentre $ordA15=653837184000$
Ebbene $Co(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ é un sottogruppo di$ An$, ma non é un sottogruppo normale perché non é l'unione di classi di coniugio.
Dico bene?
Grazie
Se prendi solo $Co(\sigma)$ non è un sottogruppo perché manca l'elemento neutro in quanto $\sigma$ e $\text{Id}$ hanno diversa struttura ciclica. Se però prendi $Co(\sigma) \cup Co(\text{Id})$ diventa un sottogruppo (normale).
P.s. $Co(\text{Id})=\text{Id}$
P.s. $Co(\text{Id})=\text{Id}$
Fin quí ci Siamo! ....proverei a ragionare su quello che a scritto j18eos. Comunque un aiutino ci sta. Grazie
propongo di dimostrare che la proiezione canonica$ π$ di $A_4$ sull'insieme quoziente $(A_4)/(V_4)$ è effettivamente un omomorfismo di gruppi con $kerπ=V4$.
La relazione di equivalenza è quella usuale, ovvero: $a,b∈Alt4,a∼b⟺ab−1∈V4$
propongo di dimostrare che la proiezione canonica$ π$ di $A_4$ sull'insieme quoziente $(A_4)/(V_4)$ è effettivamente un omomorfismo di gruppi con $kerπ=V4$.
La relazione di equivalenza è quella usuale, ovvero: $a,b∈Alt4,a∼b⟺ab−1∈V4$
J18eos, ma quando proponi di dimostrare che la proiezione canonica \(\displaystyle\pi\) di \(\displaystyle\mathrm{Alt}4\) sull'insieme quoziente \(\displaystyle\mathrm{Alt}4/V_4\) è effettivamente un omomorfismo di gruppi con \(\displaystyle\ker\pi=V_4\).
e poi dici: la relazione di equivalenza è quella usuale, ovvero: \(\displaystyle a,b\in\mathrm{Alt}4,\,a\sim b\iff ab^{-1}\in V_4\). cosa intendi? Di dimostrare la relazione di equivalenza in un gruppo?
Cioé:
O di dimostrare l"omomorfismo definito da $pi(g)= gH$ e da qui arrivare a far vedere che
$pi(g)pi(n)= pi(gn)= (gn)H.$
Grazie mille a tutti voi.
e poi dici: la relazione di equivalenza è quella usuale, ovvero: \(\displaystyle a,b\in\mathrm{Alt}4,\,a\sim b\iff ab^{-1}\in V_4\).
cosa intendi? Di dimostrare la relazione di equivalenza in un gruppo?Cioé:
O di dimostrare l"omomorfismo definito da $pi(g)= gH$ e da qui arrivare a far vedere che
$pi(g)pi(n)= pi(gn)= (gn)H.$
Grazie mille a tutti voi.
Se non sei sicura(?) che quella sia una relazione di equivalenza: dimostralo.
...e cortesemente la "j" è minuscola;
grazie.
...e cortesemente la "j" è minuscola;
grazie.
Grazie j118eos e scusami per averti modificato il nome. Io sono sicuro che si tratta di una relazione di equivalenza. L'ho pure dimostrato, mi sembra.
Ma tu quindi intendivi, premesso che $V_4$ é un sottogruppo normale, che l'omomorfismo venisse dimostrato attraverso la relazione di equivalenza? Sto cercando di capire.
Ma tu quindi intendivi, premesso che $V_4$ é un sottogruppo normale, che l'omomorfismo venisse dimostrato attraverso la relazione di equivalenza? Sto cercando di capire.
"Alin":"È un'emergenza d'amore il mio bisogno di te. Un'esigenza così speciale per me. Che assomiglia a un dolore per me."
Grazie j118eos e scusami per averti modificato il nome...
Laura Pausini
"Alin":Avendo dimostrato che quella è una relazione di equivalenza, il passo successivo è dimostrare che essa è compatibile con le operazioni di gruppo.
...Ma tu quindi intendevi, ... che l'omomorfismo venisse dimostrato attraverso la relazione di equivalenza? Sto cercando di capire.
Ovvero, dovresti dimostrare che sull'insieme \(\displaystyle\mathrm{Alt}4_{\displaystyle/\sim}\) la posizione \(\displaystyle[a]_{\sim}*_{\sim}=[a\cdot b]_{\sim}\) definisce un'operazione di gruppo; di conseguenza la proiezione canonica \(\displaystyle\pi\) è un omomorfismo (suriettivo) di gruppi con \(\displaystyle\ker\pi=V_4\).
Scusami di nuovo j18eos...provo a dimostrare che l'insieme quoziente$ = A_4/V_4$ è un gruppo:
chiusura:
consideriamo $a,b in A_4$ allora $(V_4a)(V_4b) =V_4(aV_4)b=V_4(V_4a)b=V_4V_4ab=V_4ab$
$a,b in A_4$ e $V_4ab in A_4/V_4$ Perció $A_4/V_4$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione dei laterali.
associativitá:
$V_4a[ ( V_4b )( V_4c ) ] =V_4a(V_4bc)= V_4a(bc)=V_4(ab)c=(V_4ab) V_4c=[ ( V_4a )(V_4b ) ]V_4c $
esistenza dell'identitá:
$V_4=V_4*e in A_4/V_4$ Se prendiamo adesso un qualsiasi elemento di $A_4/V_4$, allora
$V_4(V_4a)=(V_4*e)(V_4a)=V_4ea=V_4a$
$(V_4a)V_4=(V_4a)(V_4e)=V_4ae=V_4a$
esistenza dell'inverso:
$(V_4a)(V_4a^-1)=V_4aa^-1=V_4e=V_4$
$(V_4a^-1)(V_4a)=V_4a^-1a=V_4e=V_4$
Se non dovesse essere cosí vi prego di darmi una mano. Grazie
chiusura:
consideriamo $a,b in A_4$ allora $(V_4a)(V_4b) =V_4(aV_4)b=V_4(V_4a)b=V_4V_4ab=V_4ab$
$a,b in A_4$ e $V_4ab in A_4/V_4$ Perció $A_4/V_4$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione dei laterali.
associativitá:
$V_4a[ ( V_4b )( V_4c ) ] =V_4a(V_4bc)= V_4a(bc)=V_4(ab)c=(V_4ab) V_4c=[ ( V_4a )(V_4b ) ]V_4c $
esistenza dell'identitá:
$V_4=V_4*e in A_4/V_4$ Se prendiamo adesso un qualsiasi elemento di $A_4/V_4$, allora
$V_4(V_4a)=(V_4*e)(V_4a)=V_4ea=V_4a$
$(V_4a)V_4=(V_4a)(V_4e)=V_4ae=V_4a$
esistenza dell'inverso:
$(V_4a)(V_4a^-1)=V_4aa^-1=V_4e=V_4$
$(V_4a^-1)(V_4a)=V_4a^-1a=V_4e=V_4$
Se non dovesse essere cosí vi prego di darmi una mano. Grazie
C'è solo una gaffe nella chiusura: già è stato definito \(\displaystyle(V_4a)(V_4b)=V_4(ab)\).
Qui devi verificare che tale posizione non dipende dal rappresentante del laterale; altrimenti tutti i sottogruppi sarebbero normali...
Qui devi verificare che tale posizione non dipende dal rappresentante del laterale; altrimenti tutti i sottogruppi sarebbero normali...
Proviamo a formulare meglio la chiusura:
$1)$
nel nostro caso $V_4$ é un sottogruppo normale per cui i laterali destri e i laterali sinistri coincidono: per qualsiasi elemento $a in A_4, V_4a= aV_4$.
Noi scegliamo che $A_4/V_4 ={V_4a: a in A_4}$
Premesso questo, supponiamo che $a, b in A_4$ allora
$(V_4a)(V_4b)=V_4(aV_4)b=V_4(V_4a)b=V_4V_4ab=V_4ab$
$a,b∈A_4$ , $V_4ab∈A_4/V_4$. Perció $A_4/V_4$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione dei laterali.
Questa é una conseguenza della definizione di gruppo quoziente che ha come elementi i suoi laterali e il prodotto tra laterali é definito come $(aV_4)(bV_4)= (V_4a)(V_4b) =(ab)V_4= V_4(ab)$
$2$
nel nostro caso $V_4$ é un sottogruppo normale per cui i laterali destri e i laterali sinistri coincidono: per qualsiasi elemento $a in A_4, V_4a= aV_4$.
Noi scegliamo che $A_4/V_4 ={V_4a: a in A_4}$
Dalla definizione di gruppo quoziente, gli elementi di $A_4/V_4$ sono i laterali di $V_4 $ in $A_4$, dove il gruppo prodotto
é definito da $(aV_4)(bV_4)= (V_4a)(V_4b) = V_4ab$
L'operazione di prodotto tra laterali é ben definita.(Qui peró ometto la dimostrazione)
Da qui ne consegue la chiusura:
$a,b in A_4$ ne consegue che $V_4ab$ é un laterale $in A_4/V_4$.
Quali dei due punti puó andare bene?
Grazie, aspetto consigli per migliorare.
$1)$
nel nostro caso $V_4$ é un sottogruppo normale per cui i laterali destri e i laterali sinistri coincidono: per qualsiasi elemento $a in A_4, V_4a= aV_4$.
Noi scegliamo che $A_4/V_4 ={V_4a: a in A_4}$
Premesso questo, supponiamo che $a, b in A_4$ allora
$(V_4a)(V_4b)=V_4(aV_4)b=V_4(V_4a)b=V_4V_4ab=V_4ab$
$a,b∈A_4$ , $V_4ab∈A_4/V_4$. Perció $A_4/V_4$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione dei laterali.
Questa é una conseguenza della definizione di gruppo quoziente che ha come elementi i suoi laterali e il prodotto tra laterali é definito come $(aV_4)(bV_4)= (V_4a)(V_4b) =(ab)V_4= V_4(ab)$
$2$
nel nostro caso $V_4$ é un sottogruppo normale per cui i laterali destri e i laterali sinistri coincidono: per qualsiasi elemento $a in A_4, V_4a= aV_4$.
Noi scegliamo che $A_4/V_4 ={V_4a: a in A_4}$
Dalla definizione di gruppo quoziente, gli elementi di $A_4/V_4$ sono i laterali di $V_4 $ in $A_4$, dove il gruppo prodotto
é definito da $(aV_4)(bV_4)= (V_4a)(V_4b) = V_4ab$
L'operazione di prodotto tra laterali é ben definita.(Qui peró ometto la dimostrazione)
Da qui ne consegue la chiusura:
$a,b in A_4$ ne consegue che $V_4ab$ é un laterale $in A_4/V_4$.
Quali dei due punti puó andare bene?
Grazie, aspetto consigli per migliorare.
...ma se tu parti dall'assunzione che \(\displaystyle V_4\) è un sottogruppo normale di \(\displaystyle\mathrm{Alt}4\), allora quell'insieme quoziente ha una struttura di gruppo; inoltre, i laterali destri e sinistri coincidono.
Io parto da un altro presupposto: assumiamo che \(\displaystyle V_4\) è un sottogruppo di \(\displaystyle\mathrm{Alt}4\), e definiamo \(\displaystyle a,b\in\mathrm{Alt}4,\,a\sim b\iff ab^{-1}\in V_4\) e pongo \(\displaystyle[a]_{\sim}*_{\sim}=[ab]_{\sim}\).
La domanda è: \(\displaystyle*\) è un'operazione? Sappiamo che \(\displaystyle a,b\in\mathrm{Alt}4\Rightarrow ab\in\mathrm{Alt}4\), ed analoghe affermazioni sull'insieme quoziente; ma se \(\displaystyle a\sim a^{\prime},b\sim b^{\prime}\) allora vale l'eguaglianza \(\displaystyle[ab]_{\sim}=\left[a^{\prime}b^{\prime}\right]_{\sim}\)?
Io parto da un altro presupposto: assumiamo che \(\displaystyle V_4\) è un sottogruppo di \(\displaystyle\mathrm{Alt}4\), e definiamo \(\displaystyle a,b\in\mathrm{Alt}4,\,a\sim b\iff ab^{-1}\in V_4\) e pongo \(\displaystyle[a]_{\sim}*_{\sim}=[ab]_{\sim}\).
La domanda è: \(\displaystyle*\) è un'operazione? Sappiamo che \(\displaystyle a,b\in\mathrm{Alt}4\Rightarrow ab\in\mathrm{Alt}4\), ed analoghe affermazioni sull'insieme quoziente; ma se \(\displaystyle a\sim a^{\prime},b\sim b^{\prime}\) allora vale l'eguaglianza \(\displaystyle[ab]_{\sim}=\left[a^{\prime}b^{\prime}\right]_{\sim}\)?
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