Sottogruppo normale

[Alin2]

In $S_4$ se considero il sottogruppo $H $ $ <(12)(34),(13)(24) > = { e, (12 )(34),(13 )(24),(14 )(23)} $ come posso fare per dimostrare che si tratta di un sottogruppo normale utilizzando un omomorfismo.




Io sono arrivato a questo, basandomi sulla definizione del $Kern$ di un gruppo
$pi(e) = eH = e$
$pi(12)(34) = (12)(34)H = e$
$pi(13)(24) = (13)(24)H = e$
$pi(14)(23) = (14)(23)H = e$
Ne segue che il $Ker(pi)= H$
Grazie

[Alin2]

Poniamo $V_4 = H$ e $A_4=G$,
assumiamo che $ H$ sia un sottogruppo di $G$ e $G/H = {gH | g in G}$, cioé l'insieme
dei laterali sinistri in $G$.
Noi abbiamo giá dimostrato che $ a,b∈A_4,a∼b⟺ab^(−1)∈V_4$ é una relazione di equivalenza nel sottogruppo $H$
L'ultimo passo é dimostrare se l''operazione
$⋅:G/H×G/H→G/H$ definita da $(xH)(yH)= (xyH)$ é ben definita: cioé
ee $(xH)= (x'H)$ e $(yH)= (y'H) rArr (xy)H =( x'y')H $

Supposto che $H$ sia normale  allora $gH = Hg AA g in G$

Se $xH=x′H $ e $yH=y′H$ allora

$xyH=x(yH)=x(Hy)=x(Hy′)=(xH)y′=(x′H)y′=x′(Hy′)=x′(y′H)=x′y′HxyH=x(yH)=x(Hy)=x(Hy′)=(xH)y′=(x′H)y′=x′(Hy′)=x′(y′H)=x′y′H$
e cosí l'operazione é ben definita.

Al contrario, supposto che l'operazione é ben definita, in modo che ogni volta si ha
$ xH=x′H$ e $yH=y′H$, allora $xyH=x′y′H$, vogliamo mostrare che $ g^−1Hg⊆Hg AA g∈G$. Poiché $AA h∈H, hH=eH$, noi abbiamo che
$eHgH=egH=gH$ é uguale a$ hHgH=hgH$. Cosí $ gH=hgH$, per cui $ H=g^−1hgH$ e quindi $ g^−1hg∈H AAh∈H$. Perció, $g^−1Hg⊆H.$Questo vale per qualsiasi $ g∈G$, cosí $ g^−1Hg⊆H$, Dunque
$H◃G$
Cosí puó andare! Grazie

[j18eos]

Non ho controllato tutti i calcoli, ma l'idea è corretta!

[Alin2]

Grazie per l'aiuto e la pazienza.