Sottogruppo massimale e gruppo risolubile
Ciao a tutti!!
Qualcuno potrebbe darmi la definizione di sottogruppo massimale di un gruppo. In pratica ho il seguente risultato:
Se \(\displaystyle G \) è un gruppo d'ordine \(\displaystyle p^a q^b \) con \(\displaystyle p,q \) primi distinti e \(\displaystyle a,b \) interi, allora \(\displaystyle G \) è risolubile.
Si prova per induzione su \(\displaystyle |G| \).
- Se \(\displaystyle |G|= 1\), banale.
- Se \(\displaystyle |G|>1 \), consideriamo il sottogruppo normale \(\displaystyle N \) di \(\displaystyle G \) "massimale". \(\displaystyle N \) esiste sicuramente poichè \(\displaystyle |G|>1 \);
- se \(\displaystyle |N|=1 \), la serie banale \(\displaystyle G \supseteq \{1\} \), essendo \(\displaystyle N \) massimale, non si può raffinare e quindi \(\displaystyle G \) è risolubile.
Non continuo la dimostrazione perché l'ultimo passo mi è chiaro.
Vorrei capire che vuol dire massimale in questo contesto, perché l'esistenza di \(\displaystyle N \) massimale è legato al fatto che \(\displaystyle |G|>1 \) e infine perché \(\displaystyle N \) massimale implica che la serie non si può raffinare.
Grazie mille in anticipo.
Qualcuno potrebbe darmi la definizione di sottogruppo massimale di un gruppo. In pratica ho il seguente risultato:
Se \(\displaystyle G \) è un gruppo d'ordine \(\displaystyle p^a q^b \) con \(\displaystyle p,q \) primi distinti e \(\displaystyle a,b \) interi, allora \(\displaystyle G \) è risolubile.
Si prova per induzione su \(\displaystyle |G| \).
- Se \(\displaystyle |G|= 1\), banale.
- Se \(\displaystyle |G|>1 \), consideriamo il sottogruppo normale \(\displaystyle N \) di \(\displaystyle G \) "massimale". \(\displaystyle N \) esiste sicuramente poichè \(\displaystyle |G|>1 \);
- se \(\displaystyle |N|=1 \), la serie banale \(\displaystyle G \supseteq \{1\} \), essendo \(\displaystyle N \) massimale, non si può raffinare e quindi \(\displaystyle G \) è risolubile.
Non continuo la dimostrazione perché l'ultimo passo mi è chiaro.
Vorrei capire che vuol dire massimale in questo contesto, perché l'esistenza di \(\displaystyle N \) massimale è legato al fatto che \(\displaystyle |G|>1 \) e infine perché \(\displaystyle N \) massimale implica che la serie non si può raffinare.
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Un sottogruppo proprio H di un gruppo G si dice massimale se gli unici sottogruppi di G che contengono H sono H e G.
Un sottogruppo proprio H di un gruppo G si dice normale massimale se H è normale in G e gli unici sottogruppi normali di G che contengono H sono H e G.
Un sottogruppo proprio H di un gruppo G si dice normale massimale se H è normale in G e gli unici sottogruppi normali di G che contengono H sono H e G.
"galois23":Questo è falso, il fatto che quella serie non si può raffinare implica che G è semplice, non che G è risolubile.
- se \( \displaystyle |N|=1 \), la serie banale \( \displaystyle G \supseteq \{1\} \), essendo \( \displaystyle N \) massimale, non si può raffinare e quindi \( \displaystyle G \) è risolubile.
Forse quella che ho scritto non è da intendere come serie banale, ma come la serie \(\displaystyle G \supseteq N =\{1\} \) visto che \(\displaystyle |N|=1 \)
"galois23":Il fatto che quella serie non si può raffinare significa che [tex]G[/tex] è semplice, quindi non implica che [tex]G[/tex] è risolubile.
Forse quella che ho scritto non è da intendere come serie banale, ma come la serie \(\displaystyle G \supseteq N =\{1\} \) visto che \(\displaystyle |N|=1 \)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo