Sottogruppo generato da un sottogruppo e un altro sottogruppo generato

[ti2012]

Salve. Chiedo scusa, dati H, K e Z sottogruppi di un gruppo G mi trovo davanti all'uguaglianza $<<<>, Z>>$ = $<>>>$. Ho utilizzato la definizione di sottogruppo generato da due sottogruppi ma ho avuto grosse difficoltà a capire perchè vale tale uguaglianza . L'uso della definizione non è la "strada corretta"? Molto molto cortesemente chiedo se qualcuno potrebbe aiutarmi.
Grazie infinite

[marco.ve1]

Un elemento x di $ <<<>, Z>> $ è un prodotto finito di elementi di $<>$ e $Z$, gli elementi di $<>$ sono a loro volta prodotti finiti di elementi di $H$ e $K$, quindi x è un prodotto finito di elementi di $H \cup K \cup Z$ cioè $ <<<>, Z>> \subset <>$. Viceversa $ <> \subset <<<>, Z>>$ poichè $H \cup K \cup Z \subset <> \cup Z$; perciò $ <<<>, Z>> =<>$ Allo stesso modo provi $ <>>> = <>$ e hai la tesi.

[ti2012]

Grazie mille