Sottogruppo generato da due matrici
Buongiorno, come posso definire il sottogruppo di $GL_2(\RR)$ generato da due matrici $A=((a,b),(c,d))$ e $A'=((a',b'),(c',d'))$?
Risposte
Ciao.
Supponendo, chiaramente, che $A,A'inGL_2(RR)$, sia $X={A,A'}$
Il sottogruppo generato da $X$ è dato da
$ ={A^n*(A')^m:A,A'inX,n,m inZZ}$
Naturalmente, con $n in ZZ,n<0$, la matrice $A^n$ è intesa nel senso seguente
$A^n=(A^-1)^-n$ che non avrà problemi di definizione, essendo $AinGL_2(RR)$.
mentre si assume che $A^0=I$, dove $I$ rappresenta la matrice identica.
Saluti.
Supponendo, chiaramente, che $A,A'inGL_2(RR)$, sia $X={A,A'}$
Il sottogruppo generato da $X$ è dato da
$
Naturalmente, con $n in ZZ,n<0$, la matrice $A^n$ è intesa nel senso seguente
$A^n=(A^-1)^-n$ che non avrà problemi di definizione, essendo $AinGL_2(RR)$.
mentre si assume che $A^0=I$, dove $I$ rappresenta la matrice identica.
Saluti.
No alessandro8, quello che dici vale solo se [tex]A,A'[/tex] commutano.
In generale [tex]\langle A,A' \rangle[/tex] consiste di tutte le espressioni ottenibili moltiplicando un po' di [tex]A[/tex] e un po' di [tex]A'[/tex] in un certo ordine, per esempio [tex]ABA^3B^{-2}A^{-8}BABA^2[/tex], cose del genere (dove ho chiamato [tex]B=A'[/tex]). In altre parole non c'è in generale un modo sintetico di descriverlo. Bisogna esaminare il caso particolare.
In generale [tex]\langle A,A' \rangle[/tex] consiste di tutte le espressioni ottenibili moltiplicando un po' di [tex]A[/tex] e un po' di [tex]A'[/tex] in un certo ordine, per esempio [tex]ABA^3B^{-2}A^{-8}BABA^2[/tex], cose del genere (dove ho chiamato [tex]B=A'[/tex]). In altre parole non c'è in generale un modo sintetico di descriverlo. Bisogna esaminare il caso particolare.
Ciao, Martino.
Premetto, a scanso di equivoci e memore di un'esperienza negativa avuta in una discussione passata (non con te, sia chiaro, anzi con te ho sempre avuto interazioni costruttive), che non voglio avanzare alcun tipo di polemica, vorrei solo cercare di capire meglio ciò che affermi e di far presente il mio punto di vista.
Si osservi la definizione riportata nella proposizione 1.1 del presente documento (fonte: Dipartimento di Matematica dell'Università degli studi di Bari).
Stando a quella fonte (senz'altro più attendibile del sottoscritto), gli "ingredienti" richiesti per definire un sottogruppo generato sarebbero semplicemente i seguenti:
1) il gruppo (in questo caso $GL_2(RR)$) dev'essere di tipo moltiplicativo;
2) l'insieme dei generatori $X$ dev'essere non vuoto.
Non sembrerebbe esserci alcun riferimento alla commutatività dell'operazione nel gruppo.
Probabilmente un errore che ho effettivamente commesso io è stato quello di aver citato le matrici $A$ e $A'$ nella definizione da me trascritta; avrei dovuto, avendo $X={A, A'}$ definire il sottogruppo generato in modo più generico, così:
$ ={H^n*K^m:H,KinX,n,m inZZ}$
Il punto della tua osservazione riguardava quest'aspetto? In caso affermativo non potrei che darti assoluta ragione.
Avevo sempre ritenuto questa definizione corretta, ma, comunque, sono aperto ai cambiamenti di mentalità quando servono.
Saluti.
Premetto, a scanso di equivoci e memore di un'esperienza negativa avuta in una discussione passata (non con te, sia chiaro, anzi con te ho sempre avuto interazioni costruttive), che non voglio avanzare alcun tipo di polemica, vorrei solo cercare di capire meglio ciò che affermi e di far presente il mio punto di vista.
Si osservi la definizione riportata nella proposizione 1.1 del presente documento (fonte: Dipartimento di Matematica dell'Università degli studi di Bari).
Stando a quella fonte (senz'altro più attendibile del sottoscritto), gli "ingredienti" richiesti per definire un sottogruppo generato sarebbero semplicemente i seguenti:
1) il gruppo (in questo caso $GL_2(RR)$) dev'essere di tipo moltiplicativo;
2) l'insieme dei generatori $X$ dev'essere non vuoto.
Non sembrerebbe esserci alcun riferimento alla commutatività dell'operazione nel gruppo.
Probabilmente un errore che ho effettivamente commesso io è stato quello di aver citato le matrici $A$ e $A'$ nella definizione da me trascritta; avrei dovuto, avendo $X={A, A'}$ definire il sottogruppo generato in modo più generico, così:
$
Il punto della tua osservazione riguardava quest'aspetto? In caso affermativo non potrei che darti assoluta ragione.
Avevo sempre ritenuto questa definizione corretta, ma, comunque, sono aperto ai cambiamenti di mentalità quando servono.
Saluti.
Caro alessandro8,
c'è una differenza sostanziale tra la proposizione 1.1 che citi e il tuo modo di descrivere [tex]\langle X \rangle[/tex]. Noterai che nella proposizione 1.1 che citi il prodotto è del tipo [tex]s_1^{h_1} \cdots s_r^{h_r}[/tex] con [tex]r[/tex] qualsiasi (!) e anche gli [tex]s_i,h_i[/tex] qualsiasi. Tu hai scritto il tuo insieme scegliendo [tex]r=2[/tex] senza alcun motivo. Per esempio l'elemento [tex]HKH[/tex] non è della forma [tex]H^n K^m[/tex] di cui parli tu.
Cioè nella proposizione 1.1 (che è corretta) [tex]r[/tex] può essere quello che vuole.
Sono riuscito a spiegarmi?
Ciao
c'è una differenza sostanziale tra la proposizione 1.1 che citi e il tuo modo di descrivere [tex]\langle X \rangle[/tex]. Noterai che nella proposizione 1.1 che citi il prodotto è del tipo [tex]s_1^{h_1} \cdots s_r^{h_r}[/tex] con [tex]r[/tex] qualsiasi (!) e anche gli [tex]s_i,h_i[/tex] qualsiasi. Tu hai scritto il tuo insieme scegliendo [tex]r=2[/tex] senza alcun motivo. Per esempio l'elemento [tex]HKH[/tex] non è della forma [tex]H^n K^m[/tex] di cui parli tu.
Cioè nella proposizione 1.1 (che è corretta) [tex]r[/tex] può essere quello che vuole.
Sono riuscito a spiegarmi?
Ciao
Si, penso di aver capito, adesso.
Grazie, Martino.
Saluti.
Grazie, Martino.
Saluti.
Prego figurati 
ciao
ciao
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