Sottogruppo di un sottogruppo normale
Buongiorno, leggendo in giro ho trovato
considero il sottogruppo $G$ di$ S_15 : G=<γσγ^−1,γ∈S15,σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)>$ , e provo a dimostrare se si tratta o no di un sottogruppo normale di $A_15$.
La classe di coniugio di$ σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ ha ordine $151351200$ mentre $oA_15=653837184000$
Ebbene $Co(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ é un sottogruppo di $A_15$, ma non é normale perché non é l'unione di classi di coniugio.
Provo a dare la mia risposta
la classe di coniugio non é mai un sottogruppo, quindi la classe di coniugio di$ σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$, avrá ordine $151351200$, ma non é un sottogruppo di $A_15$. Nota: la classe di coniugio é un sottogruppo normale solo se si parla della $Co(id)$
Riflessione mia:
se considero invece il sottogruppo $K$, $ <(8,11,12,13)(479)(1,2,10)>$ come faccio a stabilire se $K$ é un sottogruppo normale di $A_15$?
Io ho provato a ragionare cosí: $K$ é una permutazione pari,contiene l'identitá e ha ordine 12, ma contiene solo in parte la classe di coniugio di una permutazioni del tipo $(a,b,c,d)(e,f,g)(h,i,l)$ che ha ordine $151351200$, per cui é un sottogruppo di $A_15$, ma non é normale.
Potete controllare!
Grazie
considero il sottogruppo $G$ di$ S_15 : G=<γσγ^−1,γ∈S15,σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)>$ , e provo a dimostrare se si tratta o no di un sottogruppo normale di $A_15$.
La classe di coniugio di$ σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ ha ordine $151351200$ mentre $oA_15=653837184000$
Ebbene $Co(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$ é un sottogruppo di $A_15$, ma non é normale perché non é l'unione di classi di coniugio.
Provo a dare la mia risposta
la classe di coniugio non é mai un sottogruppo, quindi la classe di coniugio di$ σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)$, avrá ordine $151351200$, ma non é un sottogruppo di $A_15$. Nota: la classe di coniugio é un sottogruppo normale solo se si parla della $Co(id)$
Riflessione mia:
se considero invece il sottogruppo $K$, $ <(8,11,12,13)(479)(1,2,10)>$ come faccio a stabilire se $K$ é un sottogruppo normale di $A_15$?
Io ho provato a ragionare cosí: $K$ é una permutazione pari,contiene l'identitá e ha ordine 12, ma contiene solo in parte la classe di coniugio di una permutazioni del tipo $(a,b,c,d)(e,f,g)(h,i,l)$ che ha ordine $151351200$, per cui é un sottogruppo di $A_15$, ma non é normale.
Potete controllare!
Grazie
Risposte
Se qualcuno da un'occhiata quando ha del tempo....mi fa un gran piacere.
Grazieo
Grazieo
Non può essere un sottogruppo normale di $A_{15}$ perché $sigma$ non appartiene a $A_{15}$.
Comunque è meglio se motivi i tuoi ragionamenti. Dici "non è un sottogruppo di $A_{15}$" ma non spieghi perché.
Ti propongo di dimostrare questo: Sia $G$ un gruppo e sia $X$ un sottoinsieme di $G$ con la proprietà che per ogni $x in X$ e per ogni $g in G$ si ha $gxg^{-1} in X$. Allora [tex]\langle X \rangle[/tex] è un sottogruppo normale di $G$.
Comunque è meglio se motivi i tuoi ragionamenti. Dici "non è un sottogruppo di $A_{15}$" ma non spieghi perché.
Ti propongo di dimostrare questo: Sia $G$ un gruppo e sia $X$ un sottoinsieme di $G$ con la proprietà che per ogni $x in X$ e per ogni $g in G$ si ha $gxg^{-1} in X$. Allora [tex]\langle X \rangle[/tex] è un sottogruppo normale di $G$.
Grazie Martino!
Vado a piccoli passi per meglio comprendere e non confondermi:
$1$$σ $ non appartiene a $A_4$ perché é una permutazione dispari.
$2$ Ma se $G=<γσγ^−1,γ∈S15,σ=(1 2 3 )(5 6 7)(8 9 10)> $ non sarebbe nemmeno un sottogruppo
di $A_15$ perché non contiene l'identitá, ovvero la classe di coniugio non é mai un sottogruppo. (Tranne nel caso di $Co(id)$)
Dico bene?
$3$ se considero il sottogruppo di $A_15$ cioé $ K, <(8,11,12)(479)(1,2,10)$ non posso dire senza la dimostrazione che mi proponi,
che dopo peró provo a verificare, che $ K$ non é un sottogruppo di$ A_15$ perché non é unione di classi di coniugio?
Questo é un grosso dubbio che devo colmare.
Potresti gentilmente controllare
Vado a piccoli passi per meglio comprendere e non confondermi:
$1$$σ $ non appartiene a $A_4$ perché é una permutazione dispari.
$2$ Ma se $G=<γσγ^−1,γ∈S15,σ=(1 2 3 )(5 6 7)(8 9 10)> $ non sarebbe nemmeno un sottogruppo
di $A_15$ perché non contiene l'identitá, ovvero la classe di coniugio non é mai un sottogruppo. (Tranne nel caso di $Co(id)$)
Dico bene?
$3$ se considero il sottogruppo di $A_15$ cioé $ K, <(8,11,12)(479)(1,2,10)$ non posso dire senza la dimostrazione che mi proponi,
che dopo peró provo a verificare, che $ K$ non é un sottogruppo di$ A_15$ perché non é unione di classi di coniugio?
Questo é un grosso dubbio che devo colmare.
Potresti gentilmente controllare
Tutte le tue domande hanno la stessa risposta:
Quando si scrive [tex]\langle X \rangle[/tex] si intende "sottogruppo generato da X". Prova a riguardarti la definizione di sottogruppo generato.
Quando si scrive [tex]\langle X \rangle[/tex] si intende "sottogruppo generato da X". Prova a riguardarti la definizione di sottogruppo generato.
$ gxg^−1∈X $Allora
Se $S$ è un sottoinsieme di $G$, esiste un sottogruppo più piccolo fra quelli che contengono $S$, che viene indicato con 《S》 e chiamato il sottogruppo generato da $S$. Un elemento di $G$ è in $《S》$ se e solo se è il prodotto di un numero finito di elementi di $S$ o dei loro inversi.
Ogni elemento $a$ genera quindi un sottogruppo ciclico $《a》$.
Nel mio caso io ho $S={(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)}$ e il gruppo
$《(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)》={e, (8,11,12)(4,7,9)(1,2,10), (1,10,2)(4,9,7)(8,12,11)}$
Verifichiamo la sua normalitá, nel mio caso devo verificare che sia un sottogruppo normale
di $A_15$.:
un sottoinsieme di $G$ con la proprietà che per ogni$ x∈X$ e per ogni $g∈G$ si ha $gxg^−1∈X$. Allora $⟨X⟩$ è
un sottogruppo normale di $G$.
Nel mio caso ho trovato un controesempio
$(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)*(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)*((1,2,3)(5,6,7)(8,9,10))^-1=(2,3,8)(4,5,10)(11,12,9)$
Concludo: $(2,3,8)(4,5,10)(11,12,9)$ non appartiene àl sottogruppo $《(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)》$ per cui non é normale.
Va meglio così? Grazie
Se $S$ è un sottoinsieme di $G$, esiste un sottogruppo più piccolo fra quelli che contengono $S$, che viene indicato con 《S》 e chiamato il sottogruppo generato da $S$. Un elemento di $G$ è in $《S》$ se e solo se è il prodotto di un numero finito di elementi di $S$ o dei loro inversi.
Ogni elemento $a$ genera quindi un sottogruppo ciclico $《a》$.
Nel mio caso io ho $S={(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)}$ e il gruppo
$《(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)》={e, (8,11,12)(4,7,9)(1,2,10), (1,10,2)(4,9,7)(8,12,11)}$
Verifichiamo la sua normalitá, nel mio caso devo verificare che sia un sottogruppo normale
di $A_15$.:
un sottoinsieme di $G$ con la proprietà che per ogni$ x∈X$ e per ogni $g∈G$ si ha $gxg^−1∈X$. Allora $⟨X⟩$ è
un sottogruppo normale di $G$.
Nel mio caso ho trovato un controesempio
$(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)*(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)*((1,2,3)(5,6,7)(8,9,10))^-1=(2,3,8)(4,5,10)(11,12,9)$
Concludo: $(2,3,8)(4,5,10)(11,12,9)$ non appartiene àl sottogruppo $《(8,11,12)(4,7,9)(1,2,10)》$ per cui non é normale.
Va meglio così? Grazie
Ma l'insieme S non è quello che scrivi. L'insieme S dato dall'esercizio è l'insieme dei coniugati di quell'elemento $sigma$.
Grazie
Te lo dico per aiutarti: non hai ben chiare alcune definizioni teoriche di base, senza le quali non puoi fare gli esercizi. Tali nozioni sono in particolare la nozione di sottogruppo generato e la nozione di sottogruppo normale. Inoltre hai delle difficoltà con l'utilizzo dei quantificatori e il modo in cui scrivi le cose ti induce ad interpretarle in modo errato. Sono critiche che spero accoglierai come costruttive.
Confermo la prima parte. Sulla seconda, scrivi $S={(gamma sigma gamma^{-1})}$ ma nel tuo primo intervento hai scritto
[tex]G = \langle \gamma \sigma \gamma^{-1},\ \gamma \in S_{15} \rangle[/tex]
Questo gruppo $G$ è generato da tutti i coniugati di $sigma$ (e non solo uno!). Invece da quello che scrivi poi sembra che $G$ sia generato da un unico coniugato (perché non metti il quantificatore). Inoltre quando dimostri che $G$ è normale dici: sì è normale perché se faccio $gamma sigma gamma^{-1}$ ottengo una permutazione in $A_{15}$. Ma non devi mostrare che sta in $A_{15}$, devi mostrare che sta in $G$ (stai mostrando che $G$ è normale, non che $A_{15}$ è normale).
Confermo la prima parte. Sulla seconda, scrivi $S={(gamma sigma gamma^{-1})}$ ma nel tuo primo intervento hai scritto
[tex]G = \langle \gamma \sigma \gamma^{-1},\ \gamma \in S_{15} \rangle[/tex]
Questo gruppo $G$ è generato da tutti i coniugati di $sigma$ (e non solo uno!). Invece da quello che scrivi poi sembra che $G$ sia generato da un unico coniugato (perché non metti il quantificatore). Inoltre quando dimostri che $G$ è normale dici: sì è normale perché se faccio $gamma sigma gamma^{-1}$ ottengo una permutazione in $A_{15}$. Ma non devi mostrare che sta in $A_{15}$, devi mostrare che sta in $G$ (stai mostrando che $G$ è normale, non che $A_{15}$ è normale).
Grazie Martino, le tue critiche mi aiutano e sono costruttive. Cerco di mettere un pó di ordine...
Quando dici di usare il quantificatore ti riferisci a
$ S={(γσγ−1)} $
cioé dovevo scrivere $S={(γσγ−1)} AA γ in S_15$
Ritorniamo adesso a $G=⟨γσγ−1, γ∈S15⟩ $, quando dici che questo gruppo é generato da tutti i coniugati
di $σ$ intendi la classe di coniugio di $σ$?
Se é cosí allora $G$ ha ordine $11211200$?
Dopo mi resta da verificare se $G$ é un sottogruppo normale di $A_15$
Quando dici di usare il quantificatore ti riferisci a
$ S={(γσγ−1)} $
cioé dovevo scrivere $S={(γσγ−1)} AA γ in S_15$
Ritorniamo adesso a $G=⟨γσγ−1, γ∈S15⟩ $, quando dici che questo gruppo é generato da tutti i coniugati
di $σ$ intendi la classe di coniugio di $σ$?
Se é cosí allora $G$ ha ordine $11211200$?
Dopo mi resta da verificare se $G$ é un sottogruppo normale di $A_15$
Esatto, la classe di coniugio.
No non ha ordine 11211200. In generale [tex]\langle X \rangle[/tex] ha molti più elementi di X. Ma non ti serve calcolare |G|. Devi solo dire se G è un sottogruppo normale di A15.
Come dicevi la risposta è no perché non è nemmeno un sottogruppo di A15. Infatti $sigma$ non appartiene a A15. Questo risponde alla domanda, non serve altro.
No non ha ordine 11211200. In generale [tex]\langle X \rangle[/tex] ha molti più elementi di X. Ma non ti serve calcolare |G|. Devi solo dire se G è un sottogruppo normale di A15.
Come dicevi la risposta è no perché non è nemmeno un sottogruppo di A15. Infatti $sigma$ non appartiene a A15. Questo risponde alla domanda, non serve altro.
Grazie Martino per la pazienza, ho un dubbio ma la classe di coniugio di $(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$, lo so che non mi serve saperlo,
non é uguale a $15!/(3^3*3!*1^6*6!)$
e poi perché dici che $(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ non appartiene a$ A_15$ É pari.
Se ti riferivi al primo post dove parlavo di $(1,2,3,4)(5,6,7)(8,9,10) $ allora si....é dispari e non
appartiene a $A_15$
Rifletteró,
alla fine se fisso $σ=(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ secondo me con $G=⟨γσγ−1, γ∈S15⟩$ trovo un insieme
di permutazioni pari che appartengono a $A_15$ privo dell'identitá e arrivo alla conclusione.
non é uguale a $15!/(3^3*3!*1^6*6!)$
e poi perché dici che $(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ non appartiene a$ A_15$ É pari.
Se ti riferivi al primo post dove parlavo di $(1,2,3,4)(5,6,7)(8,9,10) $ allora si....é dispari e non
appartiene a $A_15$
Rifletteró,
alla fine se fisso $σ=(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ secondo me con $G=⟨γσγ−1, γ∈S15⟩$ trovo un insieme
di permutazioni pari che appartengono a $A_15$ privo dell'identitá e arrivo alla conclusione.
"milos144":La classe di coniugio non può essere un numero. Vuoi dire la cardinalità della classe di coniugio?
Grazie Martino per la pazienza, ho un dubbio ma la classe di coniugio di $(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$, lo so che non mi serve saperlo,
non é uguale a $(15!)/(3^3*3!*1^6*6!)$
immagino che tu stia parlando della classe di coniugio di $sigma = (1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ in $S_{15}$ (osserva l'importanza di scrivere tutto con i dettagli). In tal caso sì il numero è quello (è l'indice del centralizzante).e poi perché dici che $(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ non appartiene a$ A_15$ É pari.
Se ti riferivi al primo post dove parlavo di $(1,2,3,4)(5,6,7)(8,9,10) $ allora si....é dispari e non
appartiene a $A_15$
Sì mi riferivo al tuo primo intervento, questo:
"milos144":
considero il sottogruppo $G$ di$ S_15 : G=<γσγ^−1,γ∈S15,σ=(1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)>$ , e provo a dimostrare se si tratta o no di un sottogruppo normale di $A_15$.
Non mi ero accorto che avevi cambiato $sigma$, scusa
Rifletteró,La notazione [tex]G = \langle \gamma \sigma \gamma^{-1}\ :\ \gamma \in S_{15} \rangle[/tex] significa: il sottogruppo di $S_{15}$ generato da [tex]X = \{\gamma \sigma \gamma^{-1}\ :\ \gamma \in S_{15}\}[/tex]. Ora come hai detto l'insieme $X$ ha 11211200 elementi, ma purtroppo $G$ ha molti più elementi di $X$. Il gruppo $G$ è generato dall'insieme $X$. Significa che un elemento di $G$ è un prodotto di elementi di $X$ o di loro inversi. In particolare $X$ è un sottoinsieme di $G$ ma $X ne G$. Per mostrare che $G$ è normale in $A_{15}$ devi prendere un qualsiasi $g in G$, un qualsiasi $a in A_{15}$ e mostrare che $aga^{-1} in G$.
alla fine se fisso $σ=(1,2,3)(5,6,7)(8,9,10)$ secondo me con $G=⟨γσγ−1, γ∈S15⟩$ trovo un insieme
di permutazioni pari che appartengono a $A_15$ privo dell'identitá e arrivo alla conclusione.
Ti dò un'indicazione: quel $G$ è davvero un sottogruppo normale di $A_{15}$. Prova a dimostrarlo.
Scusami Martino, ti chiedo le ultime delucidazioni su questo post:
per mostrare che $G$ è normale in $A_15$ devi prendere un qualsiasi $g∈G$, un qualsiasi $a∈A_15$ e mostrare che$ aga^−1∈G$.
Seguendo i tuoi consigli:
prendiamo un qualsiasi $a in A_15$ per esempio $ (3,2,1,4)(7,8,9)(5,10,12,6)$
e un qualsiasi $ g in G$ per esempio $ (5,6,7)(2,3,4)(10,9,1)$ avremo
$ (3,2,1,4)(7,8,9)(5,10,12,6)*(5,6,7)(2,3,4)(10,9,1)*( (5,6,7)(2,3,4)(10,9,1))^-1 = (1,2,3)(4,12,7)(5,8,10) in G$
Ma questo, non si dovrebbe ripetere per tutti gli $a in A_15$ e per tutti gli $ g in G$?
Nel nostro caso é quasi impossibile perché sia $G$ sia $A_15$ hanno una quantitá enorme di elementi.
Se io dicessi invece che $G$ é normale perché é l'unione di classi coniugio, per esempio la
$Co(e)$ + la $Co(sigma)$ é giusto?
Grazie
per mostrare che $G$ è normale in $A_15$ devi prendere un qualsiasi $g∈G$, un qualsiasi $a∈A_15$ e mostrare che$ aga^−1∈G$.
Seguendo i tuoi consigli:
prendiamo un qualsiasi $a in A_15$ per esempio $ (3,2,1,4)(7,8,9)(5,10,12,6)$
e un qualsiasi $ g in G$ per esempio $ (5,6,7)(2,3,4)(10,9,1)$ avremo
$ (3,2,1,4)(7,8,9)(5,10,12,6)*(5,6,7)(2,3,4)(10,9,1)*( (5,6,7)(2,3,4)(10,9,1))^-1 = (1,2,3)(4,12,7)(5,8,10) in G$
Ma questo, non si dovrebbe ripetere per tutti gli $a in A_15$ e per tutti gli $ g in G$?
Nel nostro caso é quasi impossibile perché sia $G$ sia $A_15$ hanno una quantitá enorme di elementi.
Se io dicessi invece che $G$ é normale perché é l'unione di classi coniugio, per esempio la
$Co(e)$ + la $Co(sigma)$ é giusto?
Grazie
"milos144":No $G$ non è l'unione di quelle due classi di coniugio. Di nuovo, riguardati la definizione di sottogruppo generato da un insieme.
Nel nostro caso é quasi impossibile perché sia $G$ sia $A_15$ hanno una quantitá enorme di elementi.
Se io dicessi invece che $G$ é normale perché é l'unione di classi coniugio, per esempio la
$Co(e)$ + la $Co(sigma)$ é giusto?
E non è che "è impossibile", è che stai pensando a $S_{15}$ come se fosse un gruppo di cui puoi elencare gli elementi (come facevi con $S_3$ e $S_4$).
Guarda non vedo altre strade se non quella di mostrarti la soluzione.
Dobbiamo mostrare che [tex]G=\langle X \rangle[/tex] è normale in [tex]A_{15}[/tex], dove $X$ è quella classe di coniugio che hai detto.
Prendiamo quindi $g in G$ e $a in A_{15}$, dobbiamo mostrare che $aga^{-1} in G$.
Come facciamo? Ci ricordiamo che $G$ è generato da $X$. Quindi esistono $x_1, ..., x_n in X$ tali che $g=x_1 ... x_n$ (osserva che essendo $S_{15}$ finito gli inversi degli elementi di $X$ sono anche loro prodotti di elementi di $X$: se $x$ ha ordine $m$ allora $x^{-1}=x^{m-1}$).
Dobbiamo quindi mostrare che $a x_1 ... x_n a^{-1} in G$.
Come facciamo? Usiamo il solito trucco: $a x_1 ... x_n a^{-1} = a x_1 a^{-1} a x_2 a^{-1} a x_3 a^{-1} ... a x_n a^{-1}$. Ora questo è un prodotto di elementi $a x_i a^{-1}$ che appartengono a $X$ perché $x_i in X$ e $X$ è una classe di coniugio. Segue che $a g a^{-1}$ è un prodotto di elementi di $X$ quindi appartiene a [tex]\langle X \rangle = G[/tex]. Fine.
Grazie mille Martino.
Ultima cosa riguardo al benedetto gruppo generato:
se io prendo in $S_3$ la $Co(12)={(12),(13),(23)}$ il gruppo generato da essa é ${e, (12), (13),(23, (132),(123))$
Lo posso considerare unione delle 3 classi di coniugio di $S_3$?
Ecco perché nel di $G=⟨γσγ^−1 : γ∈S15⟩ $ pensavo fosse una qualche unione di classi.
Ho letto pure, non so se vero, che un gruppo generato da una classe di coniugio é sempre normale.
Ultima cosa riguardo al benedetto gruppo generato:
se io prendo in $S_3$ la $Co(12)={(12),(13),(23)}$ il gruppo generato da essa é ${e, (12), (13),(23, (132),(123))$
Lo posso considerare unione delle 3 classi di coniugio di $S_3$?
Ecco perché nel di $G=⟨γσγ^−1 : γ∈S15⟩ $ pensavo fosse una qualche unione di classi.
Ho letto pure, non so se vero, che un gruppo generato da una classe di coniugio é sempre normale.
"milos144":Sì certo, ma come vedi non è l'unione di {e} con Co(12). Cioè non è l'unione di due classi, è l'unione di tre classi.
se io prendo in $S_3$ la $Co(12)={(12),(13),(23)}$ il gruppo generato da essa é ${e, (12), (13),(23, (132),(123))$
Lo posso considerare unione delle 3 classi di coniugio di $S_3$?
Ecco perché nel di $G=⟨γσγ^−1 : γ∈S15⟩ $ pensavo fosse una qualche unione di classi.Lo è, ma non è l'unione di due classi.
Ho letto pure, non so se vero, che un gruppo generato da una classe di coniugio é sempre normale.Sì certo che è vero, la dimostrazione te l'ho scritta sopra: se ci fai caso nel mio ultimo intervento quando ho mostrato che G è normale l'unica cosa che ho usato è che X è una classe di coniugio. Cioè non ho usato particolari proprietà di $S_{15}$.
Ancora più in generale, se ti ricordi ti ho scritto questo proprio all'inizio di questa discussione.
Ti propongo di dimostrare questo: Sia $G$ un gruppo e sia $X$ un sottoinsieme di $G$ con la proprietà che per ogni $x in X$ e per ogni $g in G$ si ha $gxg^{-1} in X$. Allora [tex]\langle X \rangle[/tex] è un sottogruppo normale di $G$.
Nel tuo caso specifico ti svelo anche che $G$ è proprio uguale a $A_{15}$ (infatti $A_{15}$ è un gruppo semplice e $G$ è normale in $A_{15}$).
Avevo intuito che $G = A_15$.
Quindi $G$ é unione di tutte le classi di coniugio di $A_15$
Grazie Martino
Quindi $G$ é unione di tutte le classi di coniugio di $A_15$
Grazie Martino
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