Sottogruppo di $S_4$

[melli13]

Determinare il più piccolo sottogruppo di $S_4$ che contiene $(34), (123)$.

Come faccio a creare un sottogruppo? Sicuramente questo sottogruppo contiene l'identità e le due permutazioni. Poi dovrebbe contenere anche $(34)(123)=(1234)$ e $(123)(34)=(1243)$, ma se continuo di questo passo a moltiplicare tutti gli elementi tra loro non finisco più...!come posso uscirne fuori?Grazie per l'aiuto!

[Seneca1]

$< (3 4 ) , (1 2 3 ) >$ è il sottogruppo generato dai due cicli $(34)$ ,$(123)$ ed è il più piccolo sottogruppo contenente questi due elementi...

[melli13]

Sicuramente quelli sono i generatori, ma in modo esplicito come faccio a determinare tutti gli elementi del sottogruppo?

[j18eos]

Nota che un tale sottogruppo contiene almeno dei \(4\)-cicli e dei \(3\)-cicli, quindi il suo ordine è divisibile per \(12\); ma non è \(\mathrm{Alt}4\) in quanto contiene almeno un \(2\)-ciclo e non abeliano come puoi notare!

Non ti si accende nessuna lampadina? [size=85]A meno di miei errori![/size]

[melli13]

No...non mi si accende proprio nulla...!posso moltiplicare tutti i vari elementi che ottengo volta per volta ma non finisco più....sicuramente $H={(1),(34),(123),(124),(1234),(1243),....} e ora devo continuare a moltiplicare questi elementi tra loro....solo che vorrei capire se c'è un metodo più veloce...

[j18eos]

A quanto t'ho scritto, aggiungi l'ordine di \(\mathrm{Sym}4\), usa il teorema di Lagrange!

[melli13]

Non capisco...usando il teorema di Lagrange posso dire che l'ordine del gruppo può essere 4,6,8 o 12...ma questo non mi aiuta mica a trovare gli elementi..?

[melli13]

Allora?

[j18eos]

Dato che c'è un \(3\)-ciclo l'ordine può mai essere \(2\);\(4\) oppure \(8\)?

Dato che c'è un \(4\)-ciclo l'ordine può mai essere \(2\);\(3\) oppure \(6\)?

Dato che c'è un \(2\)-ciclo si è escluso che il sottogruppo possa essere \(\mathrm{Alt}4\), quindi il suo ordine può essere \(12\)?