Sottogruppo di ordine 20

[carter72]

Qualcuno si è mai imbattuto in un sottogruppo di $S_{5}$ di ordine 20?
Mi si presenta come gruppo di Galois di $f(x)=x^{5}-3$ su Q.
Vorrei trovare un'espressione in termini di gruppi noti e soprattutto determinarne il reticolo dei sottogruppi.
Grazie a Sylow ho dimostrato che possiede un unico sottogruppo di ordine 5, tra l'altro normale, il cui quozente è $Z_{4}$.
Sempre Sylow mi assicura che i sottogruppi di ordine 4 sono o 1 o 5; ne ho trovato uno, penso che non ve ne siano altri, ma non riesco a dimostrarlo.
Sfruttando l'analogia con i vertici del pentagono, il sottogruppo di ordine 5 dovrebbe essere contenuto in una copia di $D_{5}$ generato dalla rotazione di $2pi/5$ radianti e dalla coniugazione complessa.
Quindi ho auomaticamente 5 elementi i ordine . Ne esistono altri? E la copia di $D_{5}$ è unica?
(I sottogruppi di ordine 10 possono essere solo isomorfi a $D_{5}$ poiché $S_{5}$ non ha elementi di ordine 10 e pertanto non può contenere $Z_{10}$).

[vict85]

Io non credo che il quoziente sia $ZZ_4$ (che è isomorfo in $S_5$ al sottogruppo generato di un $4$-ciclo) facendo un po' di conti ho trovato che il prodotto di un 5-ciclo e un 4-ciclo produce sempre una permutazione di ordine 6.

ad esempio...
$(abcde)(acde) = (ad)(bce)$

Quindi dato che un gruppo di ordine p^2 o è ciclico p è il prodotto $ZZ_2 \times ZZ_2$ allora il quoziente è il prodotto diretto di due scambi, cioé il famoso gruppo di Klein...