Sottogruppo di indice finito in un gruppo (e suo sottogruppo)

[giocind_88]

Buongiorno a tutti. Scusatemi, se abbiamo un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ e sappiamo che il sottogruppo $N_G(H)$ ha indice finito nel gruppo $G$, possiamo affermare che anche $H$ (che è contenuto in $N_G(H)$) ha indice finito nel gruppo $G$?
Vi ringrazio molto

[Martino]

No prendi $G=ZZ$ e $H={0}$.

[giocind_88]

Grazie. Allora perchè se abbiamo per ipotesi che $| G : N_G(H)|$ è finito e che $| G : N_G(K)|$ (con $K$ sottogruppo di $G$) è finito , risulta che anche $| G : N_G(H) nn N_G(K)|$ è finito??

[Martino]

Perché l'intersezione di due sottogruppi di G di indice finito ha sempre indice finito in G.

[giocind_88]

Grazie! Se abbiamo $M$ sottogruppo (di indice finito) di $G$ e contenente $H$ e se abbiamo che $|G:N_G(M)|$ è finito e $|M:N_M(H)|$ è finito, perchè $|G:N_G(H)|$ è finito?

[Martino]

Perché $N_G(H)$ contiene $N_M(H)$ che ha indice finito in G perché $|G:N_M(H)|=|G:M|*|M:N_M(H)|$.

[giocind_88]

Grazie.
Dal fatto che $|G:N_G(H)|$ è finito, si può affermare che preso un sottogruppo $L$ di $G$, anche $|L:N_L(H)|$ è finito?

[Martino]

Sì, ma questa non te la dimostro, sforzati almeno un po' devi giocare con gli indici come ho fatto sopra.

Ti dico una cosa che ti aiuterà a capire intuitivamente cosa succede: ricordati che dire che $|G:N_G(H)|$ è finito è equivalente a dire che $H$ ha un numero finito di coniugati in $G$.

[giocind_88]

Sì, ho pensato che poichè H ha un numero finito di coniugati in G ossia {$g^(-1)Hg, g in G$} è finito allora, poichè $L<=G$ , anche {$l^(-1)Hl, l in L$} è finito ossia H ha un numero finito di coniugati in L ossia $|L:N_L(H)|$ è finito. E' esatto?

[Martino]

Esatto.

[giocind_88]

"Martino":Perché l'intersezione di due sottogruppi di G di indice finito ha sempre indice finito in G.

Chiedo scusa, so che questo risultato può estendersi ad un numero finito (maggiore di 2) di sottogruppi di indice finito..Ciò vale in quanto si applica ripetutamente ai sottogruppi di indice finito il risultato citato? O il risultato citato vale in generale per un numero finito ( > 2) di sottogruppi di indice finito in un gruppo? Grazie mille

[Martino]

Si applica ripetutamente. Per esempio se $A$, $B$, $C$ hanno indice finito in $G$ allora per il caso "2 sottogruppi" $A nn B$ ha indice finito in $G$ quindi per il caso "2 sottogruppi" anche $(A nn B) nn C = A nn B nn C$ ha indice finito in $G$.

[giocind_88]

Sì, sì, era esattamente questo che intendevo con "applicare ripetutamente" il risultato citato ossia il "caso dei due sottogruppi". Grazie

[giocind_88]

Mi scusi, se abbiamo un sottogrupppo $H$ di un gruppo $G$ e sappiamo che $|G:H|$ è finito e che, considerando il nocciolo $H_G$, anche $|G:N_G(H_G)|$ è finito, perchè si ha che $|G:H_G|$ è finito?
Per definizione di nocciolo, $H_G <=H$ ma questo non ci aiuta con le nostre ipotesi... Ho pensato che avremmo bisogno di un sottogruppo più grande di N_G(H_G) in modo da poter sfruttare l'ipotesi di finitezza di $|G:N_G(H_G)|$..sto pensando pensando ma non ho trovato la soluzione alla mia domanda

[Martino]

"gi88":Mi scusi, se abbiamo un sottogrupppo $H$ di un gruppo $G$ e sappiamo che $|G:H|$ è finito e che, considerando il nocciolo $H_G$, anche $|G:N_G(H_G)|$ è finito, perchè si ha che $|G:H_G|$ è finito?

L'indice $|G:N_G(H_G)|$ è sempre uguale a $1$ perché $H_G$ è normale in $G$.

Se stai studiando rappresentazioni permutazionali sai che all'azione di $G$ sui suoi laterali corrisponde un omomorfismo $f:G to S_n$ dove $n$ è l'indice $|G:H|$ e il nucleo di $f$ è uguale a $H_G$. Segue che $G//H_G$ è isomorfo (per il teorema di isomorfismo) a un sottogruppo di $S_n$ e quindi $|G:H_G| le n!$.

Più semplicemente: $H_G$ è l'intersezione dei coniugati di $H$ e $H$ ha un numero finito di coniugati, che hanno tutti indice finito in $G$ (perché $H$ ha indice finito) quindi $H_G$ ha indice finito.

Puoi darmi del tu? Grazie

[giocind_88]

Sì, sì, ovviamente quell'indice è uguale a 1.
No non sto studiando le rappresentazioni permutazionali
Per il fatto che H ha un numero finito di coniugati, ho pensato al seguente motivo: $H$ ha indice finito in $G$ e considero per ogni laterale $Hx$ il prodotto $x^(-1)Hx$. Allora il numero di questi ultimi, al variare di $x in G$, è finito poichè $H$ ha indice finito (ossia il numero dei laterali destri, equivalentemente sinistri di H in G è finito). Dunque esiste un numero finito di coniugati di $H$ in $G$. E' corretto?
Grazie

[Martino]

Come ti dicevo il numero di coniugati di $H$ in $G$ è proprio uguale a $|G:N_G(H)|$. Ora se $H$ ha indice finito in $G$ allora ovviamente anche $N_G(H)$ ha indice finito in $G$ (perché contiene $H$).

[giocind_88]

Siiiii scusami!!! E' ovvissimo!! Non so perchè non mi sono focalizzat su $|G:N_G(H)|$ ma su $|G:H|$ e da quì ho fatto il ragionamento scritto sotto .. Mi complico!!! Il ragionamento sotto scritto è comunque corretto? Ancora grazie

[Martino]

"gi88":Per il fatto che H ha un numero finito di coniugati, ho pensato al seguente motivo: $H$ ha indice finito in $G$ e considero per ogni laterale $Hx$ il prodotto $x^(-1)Hx$. Allora il numero di questi ultimi, al variare di $x in G$, è finito poichè $H$ ha indice finito (ossia il numero dei laterali destri, equivalentemente sinistri di H in G è finito). Dunque esiste un numero finito di coniugati di $H$ in $G$. E' corretto?

Non capisco. Dici "H ha indice finito quindi ha un numero finito di laterali destri quindi ha un numero finito di coniugati". Non mi sembra una sequenza logica dettagliata devi argomentare di più.

[giocind_88]

$H$ ha indice finito in G quindi il numero di laterali $Hx$, con $x in G$, è finito. Allora anche il numero dei $x^(-1)Hx$, con $x in G$, è finito. Poichè la scrittura $x^(-1)Hx$ è uguale a $H^x$ ($x in G$), che indica il generico coniugato di $H$ in $G$ , abbiamo che il numero di coniugati di $H$ in $G$ è finito

[Martino]

Di nuovo, non stai giustificando il fatto che H ha un numero finito di coniugati, lo stai solo affermando.