Sottogruppo di indice finito in un gruppo (e suo sottogruppo)

[giocind_88]

Buongiorno a tutti. Scusatemi, se abbiamo un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ e sappiamo che il sottogruppo $N_G(H)$ ha indice finito nel gruppo $G$, possiamo affermare che anche $H$ (che è contenuto in $N_G(H)$) ha indice finito nel gruppo $G$?
Vi ringrazio molto

[giocind_88]

Gli $x^(-1)Hx$ sono in numero finito in quanto abbiamo l'ipotesi che esiste un numero finito di $Hx$ (e quindi di conseguenza se consideriamo gli $x^(-1)Hx$, anche essi saranno in numero finito). Ho pensato alla definzione di Hx quindi Hx = {hx, h $in$ H} e quella di $x^(-1)Hx$ ossia $x^(-1)Hx$ = {$x^(-1)hx$, h $in$ H}. Mi sembrava una cosa banale, non saprei come dirlo in altro modo

[Martino]

Ecco come lo direi io.

Siano $Ht_1, ..., Ht_n$ i laterali destri di $H$, con $n=|G:H|$. Se mostriamo che ogni coniugato di $H$ ha la forma $t_i^{-1}Ht_i$ possiamo dedurre che $H$ ha al massimo $n$ coniugati, quindi basta mostrare questo.

Sia quindi $g^{-1}Hg$ un coniugato di $H$. Siccome i laterali di $H$ formano una partizione di $G$ esiste un unico $i in {1,...,n}$ tale che $g in Ht_i$. Segue che esiste $h in H$ con $g=ht_i$ e quindi

$g^{-1}Hg = (ht_i)^{-1}H(ht_i) = t_i^{-1}h^{-1}Hht_i = t_i^{-1}Ht_i$.

[giocind_88]

Ti ringrazio. Ho commesso l'errore di non usare i pedici alle x ma credimi che li avevo in mente, sottointendendolo nella scrittura $x in G$. Chiedo scusa, sapendo che per definizione il generico coniugato di H in G è della forma $x^(-1)Hx$ con $x in G$ così come $t_i^(-1)Ht_i$ da te scritto, era sbagliato pensare che il generico coniugato di H in G era del tipo $t_i^(-1)Ht_i$ , con $t_i in G$, pur non effettuando quella verifica?
Era sbagliato in quanto non effettuando tale verifica, nulla vieterebbe di fare l'ipotesi che H potesse avere un numero infinito di altri coniugati oltre al numero finito dei $t_i^(-1)Ht_i$, giusto?
Grazie

[Martino]

"gi88":sapendo che per definizione il generico coniugato di H in G è della forma $x^(-1)Hx$ con $x in G$ così come $t_i^(-1)Ht_i$ da te scritto, era sbagliato pensare che il generico coniugato di H in G era del tipo $t_i^(-1)Ht_i$ , con $t_i in G$, pur non effettuando quella verifica?

È questione di formalizzare la dimostrazione. Il fatto che la dimostrazione è facile non significa che puoi ometterla.

[Martino]

Per esempio prova a dimostrare formalmente che se H ha un numero finito di coniugati allora ha un numero finito di classi laterali. Ti accorgerai che non è possibile.