Sottogruppo alterno massimale?
Ciao, amici! Mi sto chiededo una cosa: il sottogruppo alterno, diciamo \(\mathfrak{A}_n\), del gruppo delle permutazioni di $n$ elementi, diciamo \(\mathfrak{S}_n\), è massimale? Intendo dire: è vero che, se un sottogruppo $H$ è tale che \(\mathfrak{A}_n\leq H\leq \mathfrak{S}_n\), allora o \(\mathfrak{A}_n =H\) oppure \(H=\mathfrak{S}_n\)?
Ho l'impressione che "aggiungendo" ad \(\mathfrak{A}_n\) un \(\pi\in\mathfrak{S}_n\setminus\mathfrak{A}_n\) il sottogruppo generato \(\langle\pi,\mathfrak{A}_n\rangle \) coincida con \(\mathfrak{S}_n\)... o sbaglio?
\(\infty\) grazie a tutti!!!
Ho l'impressione che "aggiungendo" ad \(\mathfrak{A}_n\) un \(\pi\in\mathfrak{S}_n\setminus\mathfrak{A}_n\) il sottogruppo generato \(\langle\pi,\mathfrak{A}_n\rangle \) coincida con \(\mathfrak{S}_n\)... o sbaglio?
\(\infty\) grazie a tutti!!!
Risposte
Ogni sottogruppo di indice \(2\) è massimale (oltre a molte altre cose), prova a ragionarci sopra.
Grazie, Vict!!!!!
...in effetti, se $G$ è un gruppo finito come per esempio \(\mathfrak{S}_n\), per il teorema di Lagrange\[\text{ord}G=\text{ord}H\cdot(G:H)\]mi sembrerebbe che ogni sottogruppo $H\leq G$ di indice primo $p$ sia massimale: se infatti un sottogruppo $H'$ contiene propriamente $H$, ed è quindi di ordine \(\text{ord}H'>\text{ord}H\), dovendo tale ordine dividere \(\text{ord}G\), non può che essere, per il teorema fondamentale dell'aritmetica, \(p\cdot\text{ord}H\), e quindi $H'=G$.
Nel caso di un gruppo di ordine infinito, \((G:H)=2\) significa che in $G$ esistono solo due classi laterali di $H$: \(H\) e \(gH\ne H\), quindi, se \(g\in G\setminus H\), cioè $g$ è tale che che \(gH\ne H\), otteniamo proprio che ogni \(g'\in G\setminus H\) è esprimibile come prodotto $gh$ per qualche $h\in H$, cioè \(G\setminus H\subset gH\), per cui \(\langle g,H\rangle=G\).
Giusto?
\(\infty\) grazie!!!
...in effetti, se $G$ è un gruppo finito come per esempio \(\mathfrak{S}_n\), per il teorema di Lagrange\[\text{ord}G=\text{ord}H\cdot(G:H)\]mi sembrerebbe che ogni sottogruppo $H\leq G$ di indice primo $p$ sia massimale: se infatti un sottogruppo $H'$ contiene propriamente $H$, ed è quindi di ordine \(\text{ord}H'>\text{ord}H\), dovendo tale ordine dividere \(\text{ord}G\), non può che essere, per il teorema fondamentale dell'aritmetica, \(p\cdot\text{ord}H\), e quindi $H'=G$.
Nel caso di un gruppo di ordine infinito, \((G:H)=2\) significa che in $G$ esistono solo due classi laterali di $H$: \(H\) e \(gH\ne H\), quindi, se \(g\in G\setminus H\), cioè $g$ è tale che che \(gH\ne H\), otteniamo proprio che ogni \(g'\in G\setminus H\) è esprimibile come prodotto $gh$ per qualche $h\in H$, cioè \(G\setminus H\subset gH\), per cui \(\langle g,H\rangle=G\).
Giusto?
\(\infty\) grazie!!!
Quanto al viceversa, in generale non vale: ci sono sottogruppi massimali di indice non primo, per esempio gli stabilizzatori dei punti nel gruppo simmetrico [tex]S_n[/tex] sono sottogruppi massimali di indice [tex]n[/tex]. In un gruppo risolubile tuttavia i sottogruppi massimali hanno indice una potenza di un primo (cf. qui). Per un gruppo finito avere tutti i sottogruppi massimali di indice primo è equivalente ad essere super-risolubile (supersolvable).
Caro Davide,
in certi contesti (come la teoria delle rappresentazione dei gruppi) i simboli \(\displaystyle\mathfrak{A}_n\) e \(\displaystyle\mathfrak{S}_n\) sono impegnati per altri oggetti, ma legati, rispettivamente al gruppo alterno e simmetrico di grado \(\displaystyle n\).
Normalmente il gruppo alterno lo trovi indicato come \(\displaystyle\mathrm{Alt}(n)\) od \(\displaystyle\mathrm{A}_n\) e raramente \(\displaystyle\mathbb{A}_n\) (simbolo che si confonde con lo spazio affine di dimensione \(\displaystyle n\)), mentre il gruppo simmetrico lo trovi indicato come \(\displaystyle\mathrm{Sym}(n)\) od \(\displaystyle\mathrm{S}_n\) (anche se questa è una scrittura ambigua coi gruppi semi-diedrali).
Ovviamente ci sono anche altre variazioni sul tema.
A presto.
Armando
in certi contesti (come la teoria delle rappresentazione dei gruppi) i simboli \(\displaystyle\mathfrak{A}_n\) e \(\displaystyle\mathfrak{S}_n\) sono impegnati per altri oggetti, ma legati, rispettivamente al gruppo alterno e simmetrico di grado \(\displaystyle n\).
Normalmente il gruppo alterno lo trovi indicato come \(\displaystyle\mathrm{Alt}(n)\) od \(\displaystyle\mathrm{A}_n\) e raramente \(\displaystyle\mathbb{A}_n\) (simbolo che si confonde con lo spazio affine di dimensione \(\displaystyle n\)), mentre il gruppo simmetrico lo trovi indicato come \(\displaystyle\mathrm{Sym}(n)\) od \(\displaystyle\mathrm{S}_n\) (anche se questa è una scrittura ambigua coi gruppi semi-diedrali).
Ovviamente ci sono anche altre variazioni sul tema.
A presto.
Armando
@ j18eos: Immagino che il suo professore o il libro usi quella notazione. Sinceramente la trovo anche piuttosto comune. In fin dei conti, l'importante è che ci si capisca. Tra l'altro nella teoria delle rappresentazioni e in particolare nel caso della teoria dei gruppi di Coxeter capita anche di dire che il gruppo simmetrico è un gruppo di Coxeter di tipo \(A_n\), ma non per questo sconsiglio di usare \(A_n\) per il gruppo alterno.
@vict85 No guarda, più docenti e colleghi mi hanno, letteralmente, perseguitato per quanto riguarda le notazioni; restando sulla lettera "A", l'esempio che mi fatto cadere le braccia (per non dire altro): lo spazio affine si indica con \(\displaystyle\mathbb{A}^n\) e non \(\displaystyle\mathcal{A}^n\)...
Arrivato a subire una tale fissazione, ne prendo atto e cerco di seguire le notazioni "usuali"; poi, dato che sono parecchi anni che studio matematica, suggerisco agli altri lo stesso senza persecuzioni di sorta.
Arrivato a subire una tale fissazione, ne prendo atto e cerco di seguire le notazioni "usuali"; poi, dato che sono parecchi anni che studio matematica, suggerisco agli altri lo stesso senza persecuzioni di sorta.
\(\infty\) grazie a tutti, ragazzi: gentili e prodighi di spunti interessantissimi come sempre!
@vict85: sì, è la notazione che usa il mio testo, il Bosch. Di professori, per il momento, ho solo gli altri forumisti
.
A proposito: il Bosch abbonda in caratteri gotici. Chissà se sia un vezzo germanico..
. Quando faccio esercizi o sviluppo i dettagli di dimostrazioni fornite dal libro cerco di riprodurre rapidamente scarabocchi che assomiglino a queste notazioni con risultati che sarebbero esteticamente impresentabili ad una prova universitaria e mi è quindi utile conoscere anche notazioni più rapidamente riproducibili a mano.
Esistono usi accettati che semplifichino la scrittura manoscritta dei caratteri gotici usati in matematica?
Grazie ancora a tutti quanti!!!
@vict85: sì, è la notazione che usa il mio testo, il Bosch. Di professori, per il momento, ho solo gli altri forumisti
. A proposito: il Bosch abbonda in caratteri gotici. Chissà se sia un vezzo germanico..
. Quando faccio esercizi o sviluppo i dettagli di dimostrazioni fornite dal libro cerco di riprodurre rapidamente scarabocchi che assomiglino a queste notazioni con risultati che sarebbero esteticamente impresentabili ad una prova universitaria e mi è quindi utile conoscere anche notazioni più rapidamente riproducibili a mano.Esistono usi accettati che semplifichino la scrittura manoscritta dei caratteri gotici usati in matematica?
Grazie ancora a tutti quanti!!!
"j18eos":
@vict85 No guarda, più docenti e colleghi mi hanno, letteralmente, perseguitato per quanto riguarda le notazioni; restando sulla lettera "A", l'esempio che mi fatto cadere le braccia (per non dire altro): lo spazio affine si indica con \(\displaystyle\mathbb{A}^n\) e non \(\displaystyle\mathcal{A}^n\)...
Arrivato a subire una tale fissazione, ne prendo atto e cerco di seguire le notazioni "usuali"; poi, dato che sono parecchi anni che studio matematica, suggerisco agli altri lo stesso senza persecuzioni di sorta.
Il punto è che Fulton nel suo libro sulla teoria delle rapprentazioni di gruppi semplici usa \(\displaystyle \mathfrak{S}_n \) per i gruppi simmetrici. La mia opinione è che si debba essere aperti a notazioni diverse. È evidente poi che se uno inizia ad usare una certa notazione poi debba esserne fedele, per lo meno all'interno del progetto su cui sta lavorando.
Nella mia tesi ho usato \(\displaystyle \mathrm{Sym}(n) \) e \(\displaystyle \mathrm{Alt}(n) \) e \(\displaystyle \mathrm{Dih}_n \) e usavo il sans serif per i sistemi di radici (\(\displaystyle \mathsf{A}_n \) per esempio), ma non è stata un scelta automatica (anche perché non ho usato \(\displaystyle S_n \) e \(\displaystyle \mathfrak{S}_n \) per nulla[nota]Nel mio caso specifico, il problema era più che altro che nella teoria dei gruppi di Coxeter si usa \(\displaystyle S \) per indicare l'insieme di generatori del gruppo \(\displaystyle W \). Quindi avevo \(\displaystyle S \) da tutte le parti.[/nota]). Molti dei libri che avevo usato usavano notazioni discordanti. Per esempio, Humphreys nel suo libro sui gruppi di Coxeter usa le lettere greche per i vettori e quelle normali per i numeri reali.
"DavideGenova":
Esistono usi accettati che semplifichino la scrittura manoscritta dei caratteri gotici usati in matematica?
Quando scrivi a mano semplicemente non usarli, a meno che tu non stia scrivendo con una parallel pen da 1,5mm (in quel caso direi che la \(\displaystyle \mathfrak{S} \) viene fatta in 3 distinti segni
). Il punto è che il fraktur non è un corsivo esattamente come la scrittura umanistica italiana (roman in inglese). Il più delle volte comunque non hai bisogno di distinguere le cose.Una grande eccezione sono le algebre di Lie, quelle devi provare a scriverle in un modo che sembri diverso dal normale.
Looooool...bella la digressione su come denotare il gruppo simmetrico. Voglio dire la mia. Personalmente odio il fraktur (soprattutto quello minuscolo delle algebre di Lie, irrealizzabile a mano), che usavo solo per denotare le categorie (come fa Hartshorne e forse anche qualcun altro). Poi ho studiato teoria delle rappresentazioni: non mi piace occupare la $S$ senza decorazioni per qualcosa di standard e spesso si hanno sommatorie che in indice hanno il gruppo simmetrico, cosa che rende scomoda (almeno in TeX) la notazione $Sym(n)$, percio' mi sono adeguato e seguendo Fulton (e a dire il vero qualunque cosa su cui ho studiato rappresentazioni) ho cominciato a usare $\mathfrak{S}_n$ (che somiglia a tutto tranne che a una $S$) per il gruppo simmetrico e $\mathbb{S}$ per il funtore di Schur.
Quando uno scrive a mano o alla lavagna per certe lettere fa uno sgorbio incomprensibile che e' comunemente accettato come "la lettera in fraktur che ci deve essere in quel posto" oppure usa la lettera senza decorazioni, tanto quando scrivi a mano non ti porti dietro le notazioni per pagine e pagine. (Io ho difficolta' anche a scrivere la P maiuscola dritta diversa dalla P maiuscola in script).
Quando uno scrive a mano o alla lavagna per certe lettere fa uno sgorbio incomprensibile che e' comunemente accettato come "la lettera in fraktur che ci deve essere in quel posto" oppure usa la lettera senza decorazioni, tanto quando scrivi a mano non ti porti dietro le notazioni per pagine e pagine. (Io ho difficolta' anche a scrivere la P maiuscola dritta diversa dalla P maiuscola in script).
Bah... io cerco di usare le notazioni "standard" che trovo!
Ovviamente ho le mie fisime in questo senso, tra cui il cercare di scrivere i caratteri fraktur a mano in maniera decente e per quanto mi sia possibile; il calligrafich (\mathcal il LaTeX) oramai lo uso solo per indicare i (pre)fasci o le topologie mentre il roman lo utilizzo per indicare le categorie!
Ovviamente ho le mie fisime in questo senso, tra cui il cercare di scrivere i caratteri fraktur a mano in maniera decente e per quanto mi sia possibile; il calligrafich (\mathcal il LaTeX) oramai lo uso solo per indicare i (pre)fasci o le topologie mentre il roman lo utilizzo per indicare le categorie!
In realtà, una volta che hai fatto un po' di calligrafia e visto lettere S in un fraktur che non sia \mathfrak allora la S la vedi. Per esempio in questo Schwabacher (un’altro alfabeto gotico) mostra una forma simile ma più vicina alla nostra S. Ma anche nel fraktur esiste una variante più simile alla S che però Zapf ha evitato per esempio questo.
Sinceramente comunque il fraktur di latex non mi emoziona troppo.
Sinceramente comunque il fraktur di latex non mi emoziona troppo.
"j18eos":
Ovviamente ho le mie fisime in questo senso, tra cui il cercare di scrivere i caratteri fraktur a mano in maniera decente
Complimenti! Anch'io amo il lato estetico della notazione matematica, ma i miei tentativi sono piuttosto scarsi...
Se proprio volete avventurarvi nello scrivere il fraktur a mano dovreste sapere che è un alfabeto per libri, non usato nelle lettere personali. Se cercaste di leggere le lettere di, per esempio, Gauss allora non trovereste il fraktur dei libri. Nelle scuole, prima di essere tolto dal nazismo, veniva insegnato il kurrent http://de.wikipedia.org/wiki/Deutsche_Kurrentschrift anche se forse è troppo simile al testo corsivo. Oppure potreste avventuarvi al corsivo gotico, ma è meno fattibile senza una penna adatta.
"vict85":
Nelle scuole, prima di essere tolto dal nazismo, veniva insegnato il kurrent http://de.wikipedia.org/wiki/Deutsche_Kurrentschrift anche se forse è troppo simile al testo corsivo.
Molto, molto interessante: sembra una buona alternativa... E poi queste cose mi appassionano anche al di là della matematica per via del mio amore per la filologia e la linguistica...
Grazie a tutti!!!!!
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