Sottogruppi Sylow
Ho alcuni esecizi sui p-sottogruppi di Sylow che non riesco a completare, provo a scrivere il testo e la mia soluzione parziale.
esercizio 2 Sia G un gruppo di ordine $231$.
(a) Si determini quanti sono gli 11-sottogruppi di Sylow di G.
(b) Si provi che tali sottogruppi sono normali in G.
(c) Si determini quanti sono gli elementi di G di ordine 11.
$|G|=231 =11*3*7$
a) $L_11 =${11-sottogruppi di Sylow di G}
$|L_11|-= 1 mod (11)$ e $|L_11| |21$ $=>$ $EE!$ 11-stg Sylow di G.
b) l'unico 11-stg Sylow di G è sicuramente normale. ma non riesco a trovarne la dimostrazione.
c) ?
Esercizio 3
Sia $G = S_5 × C_2$ il prodotto diretto del gruppo simmetrico $S_5$ e del gruppo
ciclico di ordine 2 di generatore $x$. Sia dato l’elemento di $S_5$, $\sigma = (1,5,3,4,2)$
(a) Determinare l’ordine di $\sigma$ in $S_5$ e l’ordine dell’elemento $(\sigma, x) in G$.
(b) L’elemento $(\sigma, 1) in G$ appartiene ad un sottogruppo di Sylow di G? In
caso affermativo, determinare un tale sottogruppo di Sylow, in caso
negativo, motivare la risposta.
(c) L’elemento $(\sigma, x) in G$ appartiene ad un sottogruppo di Sylow di G? In
caso affermativo, determinare un tale sottogruppo di Sylow, in caso
negativo, motivare la risposta.
a) $C_2 ={1,x}$
$o(\sigma) = 5$ perchè $\sigma^5 =id$ e $\sigma^i !=id$ con $1<=i<5$.
$o_G (\sigma, x) = mcm (5,2) =10$
b)immagino di si , ma non saprei determinarlo...
esercizio 2 Sia G un gruppo di ordine $231$.
(a) Si determini quanti sono gli 11-sottogruppi di Sylow di G.
(b) Si provi che tali sottogruppi sono normali in G.
(c) Si determini quanti sono gli elementi di G di ordine 11.
$|G|=231 =11*3*7$
a) $L_11 =${11-sottogruppi di Sylow di G}
$|L_11|-= 1 mod (11)$ e $|L_11| |21$ $=>$ $EE!$ 11-stg Sylow di G.
b) l'unico 11-stg Sylow di G è sicuramente normale. ma non riesco a trovarne la dimostrazione.
c) ?
Esercizio 3
Sia $G = S_5 × C_2$ il prodotto diretto del gruppo simmetrico $S_5$ e del gruppo
ciclico di ordine 2 di generatore $x$. Sia dato l’elemento di $S_5$, $\sigma = (1,5,3,4,2)$
(a) Determinare l’ordine di $\sigma$ in $S_5$ e l’ordine dell’elemento $(\sigma, x) in G$.
(b) L’elemento $(\sigma, 1) in G$ appartiene ad un sottogruppo di Sylow di G? In
caso affermativo, determinare un tale sottogruppo di Sylow, in caso
negativo, motivare la risposta.
(c) L’elemento $(\sigma, x) in G$ appartiene ad un sottogruppo di Sylow di G? In
caso affermativo, determinare un tale sottogruppo di Sylow, in caso
negativo, motivare la risposta.
a) $C_2 ={1,x}$
$o(\sigma) = 5$ perchè $\sigma^5 =id$ e $\sigma^i !=id$ con $1<=i<5$.
$o_G (\sigma, x) = mcm (5,2) =10$
b)immagino di si , ma non saprei determinarlo...
Risposte
Partirei dall'esercizio numero $2$. Se un p-sylow è unico allora è normale (e viceversa).
La dimostrazione di questo fatto è un corollario del secondo th. di Sylow che afferma che tutti i $p$-sylow sono coniugati quindi $gH_ig^(-1)=H_j$. Ma siccome esiste un unico sylow allora $gHg^(-1)=H$ cioè esso è normale.
Beh ogni elemento di ordine $p$ deve stare in un $p$-sylow. Sai che esso è ciclico, unico, quindi ti basta calcolare $phi(11)$.
PS Nel secondo esercizio ci sono delle cose che non si vedono bene.
La dimostrazione di questo fatto è un corollario del secondo th. di Sylow che afferma che tutti i $p$-sylow sono coniugati quindi $gH_ig^(-1)=H_j$. Ma siccome esiste un unico sylow allora $gHg^(-1)=H$ cioè esso è normale.
Beh ogni elemento di ordine $p$ deve stare in un $p$-sylow. Sai che esso è ciclico, unico, quindi ti basta calcolare $phi(11)$.
PS Nel secondo esercizio ci sono delle cose che non si vedono bene.
grazie. 
quindi il numero di elementi di ordine $11$ in un 11-Sylow è$\phi(11) =10$ ?
ho sistemato l'altro esercizio.
ma per i punti b) e c) basta considerare appunto che "ogni elemento di ordine $p$ deve stare in un $p$-sylow."?
quindi $|G| =5!*2 =2^4 *3 *5$
b) L'elemento $(\sigma, 1)$ ha ordine $5$ quindi appartiene a un $5$-Sylow.
c) L'elemento $(\sigma, x)$ ha ordine $10$ quindi non appartiene a un $p$-Sylow.
è corretto cosi?
quindi il numero di elementi di ordine $11$ in un 11-Sylow è$\phi(11) =10$ ?
ho sistemato l'altro esercizio.
ma per i punti b) e c) basta considerare appunto che "ogni elemento di ordine $p$ deve stare in un $p$-sylow."?
quindi $|G| =5!*2 =2^4 *3 *5$
b) L'elemento $(\sigma, 1)$ ha ordine $5$ quindi appartiene a un $5$-Sylow.
c) L'elemento $(\sigma, x)$ ha ordine $10$ quindi non appartiene a un $p$-Sylow.
è corretto cosi?
Sì, direi di sì.
ok.grazie 
Avrei degli altri esercizi dello stesso tipo di cui mi piacerebbe avere conferma. Provo a postarli:
Esercizio 4
Sia G un gruppo di ordine $39$.
(a) Si dimostri che se G è abeliano, allora è ciclico.
(b) Nel caso in cui G non sia abeliano, si contino i p-sottogruppi di Sylow di G.
(c) Nel caso in cui G non sia abeliano, si contino gli elementi di ciascuno ordine in G.
(a) Il numero dei 13-Sylow è congruo a $1$ mod $13$ e divide $3$, quindi c'è un unico 13-sottogruppo di Sylow, S che è normale in G.
Il numero dei 3-Sylow è congruo a $1$ mod $3$ e divide $13$, quindi può essere $1$ o $13$. Se fosse $1$ esisterebbe un unico 3-Sylow T normale in G. Quindi $G~= T xx S $ $=>$ G è abeliano e prodotto di ciclici quindi è ciclico.
(b) Se invece fosse $=13$, G non sarebbe abeliano e avrebbe 13 3-Sylow e 1 13-Sylow.
(c)$AA$ 3-Sylow ha $\phi(3) =2$ elementi di ordine $3$ $=>$ in G ci sono $2*13=26$ elementi di ordine $3$. e un 13-stg di Sylow che ha $\phi(13) =12$ elementi di ordine $13$.
Esercizio 5
Sia G un gruppo di ordine $78$.
(a) Determinare il numero $n_13$ dei 13-sottogruppi di Sylow di G.
(b) Dimostrare che G possiede un sottogruppo normale H isomorfo a $C_13$.
(c) Contare gli elementi di ordine 13 in G.
(a)$|G|=78 =13*2*3$
$n_13-=1 ( mod 13 ) $ e divide $6$ $=> n_13 =1$
(b)$=> EE!$ 13-Sylow in G, H normale in G , $|H| =13$ $=> H ~=C_13$
(c) sono $\phi(13) =12$.
Avrei degli altri esercizi dello stesso tipo di cui mi piacerebbe avere conferma. Provo a postarli:
Esercizio 4
Sia G un gruppo di ordine $39$.
(a) Si dimostri che se G è abeliano, allora è ciclico.
(b) Nel caso in cui G non sia abeliano, si contino i p-sottogruppi di Sylow di G.
(c) Nel caso in cui G non sia abeliano, si contino gli elementi di ciascuno ordine in G.
(a) Il numero dei 13-Sylow è congruo a $1$ mod $13$ e divide $3$, quindi c'è un unico 13-sottogruppo di Sylow, S che è normale in G.
Il numero dei 3-Sylow è congruo a $1$ mod $3$ e divide $13$, quindi può essere $1$ o $13$. Se fosse $1$ esisterebbe un unico 3-Sylow T normale in G. Quindi $G~= T xx S $ $=>$ G è abeliano e prodotto di ciclici quindi è ciclico.
(b) Se invece fosse $=13$, G non sarebbe abeliano e avrebbe 13 3-Sylow e 1 13-Sylow.
(c)$AA$ 3-Sylow ha $\phi(3) =2$ elementi di ordine $3$ $=>$ in G ci sono $2*13=26$ elementi di ordine $3$. e un 13-stg di Sylow che ha $\phi(13) =12$ elementi di ordine $13$.
Esercizio 5
Sia G un gruppo di ordine $78$.
(a) Determinare il numero $n_13$ dei 13-sottogruppi di Sylow di G.
(b) Dimostrare che G possiede un sottogruppo normale H isomorfo a $C_13$.
(c) Contare gli elementi di ordine 13 in G.
(a)$|G|=78 =13*2*3$
$n_13-=1 ( mod 13 ) $ e divide $6$ $=> n_13 =1$
(b)$=> EE!$ 13-Sylow in G, H normale in G , $|H| =13$ $=> H ~=C_13$
(c) sono $\phi(13) =12$.
Esercizio 6
Siano p e q due numeri primi distinti con $q < p$, sia m un intero positivo e sia G un gruppo di ordine $qp^m$.
(a) Determinare il numero dei p-sottogruppi di Sylow di G e dimostrare che G possiede un p-sottogruppo di Sylow normale P.
(b) Dimostrare che un qualsiasi q-sottogruppo di Sylow di G è ciclico.
Sia Q un qualsiasi q-sottogruppo di Sylow di G.
(c) Dimostrare che $ PQ <= G $ .
(d) Calcolare |PQ| e verificare che G = PQ.
(e) Dimostrare che G è isomorfo ad un prodotto semidiretto di un gruppo di ordine $p^m$ per un gruppo di ordine $q$.
(f) Dimostrare che il prodotto semidiretto di cui al punto precedente è diretto se e solo se esiste un solo q-sottogruppo di Sylow in G.
(a) come negli esercizi prima, $EE! $ p-Sylow P normale in G.
(b) ?
(c) prodotto di sottogruppi è un sottogruppo
(d)$|PQ| = (|P|*|Q|)/(|P nn Q|) = (p^m *q)/1 = |G|$, inoltre $ PQ <= G $ $=> G = PQ $.
(e) ?
Siano p e q due numeri primi distinti con $q < p$, sia m un intero positivo e sia G un gruppo di ordine $qp^m$.
(a) Determinare il numero dei p-sottogruppi di Sylow di G e dimostrare che G possiede un p-sottogruppo di Sylow normale P.
(b) Dimostrare che un qualsiasi q-sottogruppo di Sylow di G è ciclico.
Sia Q un qualsiasi q-sottogruppo di Sylow di G.
(c) Dimostrare che $ PQ <= G $ .
(d) Calcolare |PQ| e verificare che G = PQ.
(e) Dimostrare che G è isomorfo ad un prodotto semidiretto di un gruppo di ordine $p^m$ per un gruppo di ordine $q$.
(f) Dimostrare che il prodotto semidiretto di cui al punto precedente è diretto se e solo se esiste un solo q-sottogruppo di Sylow in G.
(a) come negli esercizi prima, $EE! $ p-Sylow P normale in G.
(b) ?
(c) prodotto di sottogruppi è un sottogruppo
(d)$|PQ| = (|P|*|Q|)/(|P nn Q|) = (p^m *q)/1 = |G|$, inoltre $ PQ <= G $ $=> G = PQ $.
(e) ?
Anche qui (a meno di sviste colossali) dovrebbe essere tutto giusto. (Gli esercizi del primo post!)
Per la a) dell'altro esercizio non hai dimostrato che è unico. Perchè lo è?
Per la b) invece si ha che un $q$-sylow ha ordine $q$ che è primo, quindi sicuramente sarà ciclico.
Per e) ed f) basta applicare la definizioni di prodotto (semi)diretto interno.
Per la b) invece si ha che un $q$-sylow ha ordine $q$ che è primo, quindi sicuramente sarà ciclico.
Per e) ed f) basta applicare la definizioni di prodotto (semi)diretto interno.
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