Sottogruppi... qualcosa mi sfugge!

[Kenta1988]

Ciao ragazzi

Per l'ennesima volta mi trovo qui con voi nell'affrontare un argomento che potrà sembrare banale ma sul quale trovo numerose difficoltà!!! Spero possiate aiutarmi...

Per definizione dato $XcG$ dove G è l'insieme sostegno del nostro gruppo definiamo come il più piccolo sottogruppo di G contenente X.

Dando per scontato la definizione di gruppo ciclico e finitamente generato a me manca una definizione a priori. Per esempio:

so che $(z,+)$ è un gruppo ciclico perchè $Z=[1]=[-1]$ Adesso. Perchè proprio 1 e -1? Come faccio a definire il sottoinsieme X e il suo relativo sottogruppo?

grazie

[Antimius]

Se [tex]$g$[/tex] è un elemento di [tex]$G$[/tex], allora [tex]$=\{g^n | n \in \mathbb{Z}\}$[/tex] è il gruppo generato da [tex]$g$[/tex]. In sostanza è il gruppo di tutti gli elementi che si ottengono ripetendo [tex]$n$[/tex] volte (al variare di [tex]$n \in \mathbb{Z}$[/tex]) l'operazione gruppale su [tex]$g$[/tex]. (Nel caso in cui l'esponente sia negativo vuol dire che ripeti [tex]$n$[/tex] volte l'operazione sull'inverso di [tex]$g$[/tex]). Se [tex]$g$[/tex] ha periodo finito, a un certo punto ti fermerai e quindi il gruppo generato avrà ordine finito.
Nel caso di [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] basta che noti che ripetendo la somma su [tex]$1$[/tex] e [tex]$-1$[/tex] (suo inverso rispetto a [tex]$+$[/tex]) un certo numero di volte, puoi raggiungere tutti gli interi.