Sottogruppi normali massimali

[Lorin1]

Ho da 24h chiuso la mia avventura nella Meccanica Razionale e ho ripreso "finalmente" l'algebra in mano e devo dire che è nonostante sia bellissima, è sempre dura ricominciare. Quindi vi posto il mio primo problema, che purtroppo non sono riuscito a trovare la soluzione, anche se per il libro sembra un passaggio banale.

Dopo aver introdotto la nozione di sottogruppo normale massimale, gli autori fanno questa osservazione: Si osservi che le nozioni di sottogruppo normale massimale e sottogruppo normale sono ben distinte, infatti
Un sottogruppo normale massimale può non essere massimale

E' su quest'ultima osservazione che mi sono soffermato. In particolare non essendo pienamente convinto ho provato a cercare qualche esempio, ma purtroppo non ne sono venuto a capo, perchè tutti gli esempi che costruivo mi portavamo sempre a dire il contrario. Quindi mi chiedevo se qualcuno mi potesse fornire spiegazioni ulteriori o qualche esempio che verifichi questa osservazione. Grazie!

[Studente Anonimo]

Considera un gruppo semplice non abeliano [tex]S[/tex].

Allora i sottogruppi massimali di [tex]S[/tex] sono ovviamente non banali (perché?).
Invece l'unico sottogruppo normale massimale di [tex]S[/tex] è [tex]\{1\}[/tex].

[Lorin1]

"Martino":Considera un gruppo semplice non abeliano [tex]S[/tex].

Allora i sottogruppi massimali di [tex]S[/tex] sono ovviamente non banali (perché?).

Ok, sono stato un fesso a non pensare alla semplicità. Devi dire pure che mi sono messo a cercare subito un controesempio sfruttando la relazione che c'è tra $S_n$ e $A_n$. Ma non riesco a capire perchè i sottogruppi massimali sono non banali , perchè sfruttando la semplicità so solo che $S$ è privo di sottogruppi normali non banali, quindi ad esempio se prendo $A_5$ mi trovo con quello che suggeriscono gli autori.
Ora ci penso un altro pò...

EDIT: I sottogruppi massimali sono non banali, perchè se lo fossero allora potrei trovare sempre un $H$ ssgr. di S per cui quel sottogruppo è contenuto propriamente in H, che va contro la definizione di massimalità. Giusto!?

[Studente Anonimo]

Se [tex]\{1\}[/tex] è massimale in [tex]G[/tex] allora preso [tex]g \in G[/tex] di ordine primo, siccome [tex]\{1\} \subset \langle g \rangle[/tex], per la massimalità si deve avere [tex]G=\langle g \rangle[/tex], quindi [tex]G[/tex] stesso deve avere ordine primo.