Sottogruppi normali e virtualmente normali di un gruppo- Modularità

[Pama1]

Buonasera.
Ho studiato che il reticolo dei sottogruppi normali di un gruppo è modulare, quindi che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari. Sugli appunti trovo che anche i sottogruppi virtualmente normali di un gruppo sono modulari.
Io ho verificato che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale in G ossia ha un numero finito di coniugati in G.
Allora il fatto che anche i sottogruppi virtualmente normali sono modulari viene dal fatto che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale e dal fatto che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari?
Grazie

[vict85]

Cosa intendi con sottogruppo virtualmente normale? Non ne ho mai sentito parlare.

[Pama1]

Come scritto nel primo messaggio, un sottogruppo H virtualmente normale in G è un sottogruppo che ha un numero finito di coniugati in G ossia equivalentemente è un sottogruppo il cui normalizzante ha indice finito in G (ossia $|G:N_G(H)|$ è finito).

[Studente Anonimo]

"Pama":Sugli appunti trovo che anche i sottogruppi virtualmente normali di un gruppo sono modulari.

Se fosse vero tutti i gruppi finiti sarebbero modulari (perché in un gruppo finito tutti i sottogruppi sono virtualmente normali).

Che ne dici di scriverci per bene qual è il risultato che vuoi dimostrare? Ovvero:

1. Comincia scrivendo la definizione di gruppo modulare.

2. Scrivi poi i risultati di cui sei a conoscenza.

3. Scrivi poi il risultato che vuoi dimostrare.

4. Scrivi poi quello che hai provato a fare per dimostrarlo.

[Pama1]

1) Un gruppo è modulare se e solo se il reticolo dei sottogruppi di tale gruppo è modulare.
2)So che i sottogruppi normali sono modulari (unica ipotesi di cui sono a conoscenza)
3) Dimostrare che anche i sottogruppi virtualmente normali sono modulari
4) Ho verificato che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale in G ossia ha un numero finito di coniugati in G. Dunque ho pensato che il fatto che anche i sottogruppi virtualmente normali sono modulari è conseguenza del fatto che un sottogruppo normale di un gruppo G è virtualmente normale e che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari..
Grazie mille

[Studente Anonimo]

Non si capisce.

Vuoi dimostrare una delle seguenti due cose? Se sì quale?

1. Se i sottogruppi normali di G sono modulari (cioè hanno il reticolo dei sottogruppi modulare) allora i sottogruppi virtualmente normali di G sono modulari (cioè hanno il reticolo dei sottogruppi modulare).

2. Se il reticolo dei sottogruppi normali di G è modulare allora il reticolo dei sottogruppi virtualmente normali di G è modulare.

Se nessuna delle due, cosa vuoi dimostrare?

Aiuterebbe moltissimo se tu ci dessi un link alle dispense o il nome del libro che stai seguendo. Ti avviso soltanto che veramente non capisco quasi niente di quello che scrivi. Per esempio dici "So che i sottogruppi normali sono modulari (unica ipotesi di cui sono a conoscenza)". Questa è un'ipotesi o un risultato che hai dimostrato?

[Pama1]

Dimostrare che i sottogruppi virtualmente normali di un gruppo sono modulari (sapendo che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari).
Non ho nè il link nè il libro, mi dispiace
Ho dimostrato che i sottogruppi normali sono modulari. Chiedo scusa, per "unica ipotesi di cui sono a conoscenza" intendevo dire unico risultato dimostrato e unica ipotesi che ho
Grazie

[Studente Anonimo]

Scusa ma quando dici "sottogruppo modulare" intendi modulare nel reticolo dei sottogruppi di G? (Come spiegato qui).

Inoltre quale delle due cose che ho scritto vuoi dimostrare?

[dan952]

Credo di aver capito cosa intendi...

Devi dimostrare che ogni sottogruppo virtualmente normale di G è modulare.

Tu asserisci che tutti i sottogruppi normali (quindi virtualmente normali perché normalità => virtuale normalità) sono modulari ma questo non ti fa concludere che lo siano anche i sottogruppi virtualmente normali perché possono esserci sottogruppi virtualmente normali che non sono normali.

[Studente Anonimo]

Sì dan su quello siamo d'accordo, ma ci sono tantissime definizioni e non capisco quale stia essendo usata.

Sottogruppo modulare =

Modulare in quanto elemento del reticolo dei sottogruppi (come da link wiki che ho messo sopra) - osservo che quando si dice che i sottogruppi normali sono modulari secondo me ci si riferisce a questa definizione.

Oppure

Modulare in quanto elemento del reticolo dei sottogruppi normali

oppure

Modulare in quanto elemento del reticolo dei sottogruppi virtualmente normali

Oppure

Sottogruppo che in quanto gruppo è modulare (cioè ha reticolo dei sottogruppi modulare)

Inoltre aiuterebbe sapere se alcune di queste definizioni coincidono tra loro.

[Pama1]

Sì, con "sottogruppo modulare" intendo modulare nel reticolo dei sottogruppi di G. Scusami, un'informazione come posso fare per accedere a Wiki con contenuto in inglese o meglio, alla pagina "generica" di Wiki dal quale suppongo tu abbia trovato il contenuto inviatomi con il link?
Dovrei dimostrare che i sottogruppi virtualmente normali di un gruppo sono modulari (sapendo che i sottogruppi normali di un gruppo sono modulari).
Dan95, sì proprio così ho pensato anch'io

[Studente Anonimo]

Scusa, finché non chiarisci le definizioni non capisco proprio niente purtroppo. Inoltre non capisco la tua domanda su wikipedia: per accedere al contenuto della pagina wiki basta cliccare sul link. Per trovarlo ho scritto su google "modular subgroup".

Facciamo così: scrivi qui la dimostrazione del fatto che i sottogruppi normali sono modulari, così vediamo se si può adattare al caso di sottogruppi virtualmente normali.