Sottogruppi normali e classi laterali destre e sinistre
Date le definizinizioni trovate su wikipedia (http://it.wikipedia.org/wiki/Sottogruppo_normale e http://it.wikipedia.org/wiki/Laterale) ho cercato di farmi qualche esempio di queste strutture ma non ci sono riuscito molto bene, o almeno penso visto che non riesco a capire soprattutto il concetto di classe laterale. Potreste indicarmi qualche esempio concreto di classe laterale?
Grazie mille
Grazie mille
Risposte
forse ciò che ti confonde è l'usuale notazione moltiplicativa.
un esempio banale, ma che conosci bene è: come gruppo prendi $ZZ,+$ e come sottogruppo normale ad esempio $5ZZ$
allora le classi laterali saranno le classi di equivalenza della relazione "modulo 5" ovvero saranno gli insiemi:
$5ZZ,\ 1+ 5ZZ,\ 2+ 5ZZ,\ 3 + 5ZZ,\ 4 + 5ZZ$
cosa ne dici?
un esempio banale, ma che conosci bene è: come gruppo prendi $ZZ,+$ e come sottogruppo normale ad esempio $5ZZ$
allora le classi laterali saranno le classi di equivalenza della relazione "modulo 5" ovvero saranno gli insiemi:
$5ZZ,\ 1+ 5ZZ,\ 2+ 5ZZ,\ 3 + 5ZZ,\ 4 + 5ZZ$
cosa ne dici?
per classi di equivalenza "modulo 5" intendi le classi di equivalenza formate da una divisione, di un elemento di $ZZ$, che abbia il resto uguale a 5?
Ad esempio $12 mod 7 = 5$ oppure non c'entra nulla?
Ad esempio $12 mod 7 = 5$ oppure non c'entra nulla?
sì intendo quello.
uhmmm... quindi la classe $5ZZ$ e' formata dagli elementi ${7,8,9,11,12,13,...}$ oppure, come avevo gia' chiesto una volta, ${5,10,15,20,25,...}$ ??
secondo te?
propendo per la seconda.... ${5,10,15,20,25,...}$
L'insieme $1+5ZZ$ contiene gli elementi ${1+5,1+10,1+15,1+20,1+25,...}$ ?
L'insieme $1+5ZZ$ contiene gli elementi ${1+5,1+10,1+15,1+20,1+25,...}$ ?
direi.
ma guarda che poi ha abbastanza senso, voglio dire se io scrivo [tex]5\mathbb{Z}[/tex] intendo proprio l'insieme [tex]\left\{ 5\cdot n\ ,\ n \in \mathbb{Z} \right\}[/tex]
comunque tornando al problema iniziale, adesso ti è chiaro?
ma guarda che poi ha abbastanza senso, voglio dire se io scrivo [tex]5\mathbb{Z}[/tex] intendo proprio l'insieme [tex]\left\{ 5\cdot n\ ,\ n \in \mathbb{Z} \right\}[/tex]
comunque tornando al problema iniziale, adesso ti è chiaro?
Si, ora va meglio, pero' relativamente la tua risposta "allora le classi laterali saranno le classi di equivalenza della relazione 'modulo 5' ovvero saranno gli insiemi ...",
non mi e' ben chiara la spiegazione di wikipedia sul sottogruppo normale quando scrive che :"se i laterali sinistro e destro di ogni elemento g di G coincidono, ovvero $gK = Kg$"...
Ecco, nel tuo esempio di classi laterali sinistre $5ZZ,1+5ZZ,2+5ZZ,...$ dovrei avere poi quelle destre: $ZZ5+2,ZZ5+1,ZZ5$, o sbaglio? Ma le devo considerare sempre tutte oppure e' solo una sinistra e una destra (diciamo le piu' esterne)?
non mi e' ben chiara la spiegazione di wikipedia sul sottogruppo normale quando scrive che :"se i laterali sinistro e destro di ogni elemento g di G coincidono, ovvero $gK = Kg$"...
Ecco, nel tuo esempio di classi laterali sinistre $5ZZ,1+5ZZ,2+5ZZ,...$ dovrei avere poi quelle destre: $ZZ5+2,ZZ5+1,ZZ5$, o sbaglio? Ma le devo considerare sempre tutte oppure e' solo una sinistra e una destra (diciamo le piu' esterne)?
non credere di poter studiare su wikipedia. wikipedia non spiega alcunché, wikipedia enuncia fatti, a volte nemmeno giusti, soprattutto in italiano.
nel caso specifico, studia su un libro, altrimenti farai una fatica eccessiva.
comunque non capisco la tua domanda.
nel caso specifico, studia su un libro, altrimenti farai una fatica eccessiva.
comunque non capisco la tua domanda.
su wikipedia hai ragione, solo che cercavo qualche spiegazione ulteriore del primo teorema di isomorfismo (la mia dispensa e' un po' "stringata" sull'argomento) e sono capitato su wikipedia dove, tra le altre cose, faceva riferimento al sottogruppo normale, e conoscendo al momento solo il semigruppo ho seguito d'istinto il link alla relativa pagina e poi quella delle classi laterali 
Diciamo che mi potrei accontentare delle spiegazioni che mi hai dato, vorrei giusto capire questo: nel link relativo al sottogruppo normale c'e' scritto:
"Il sottogruppo normale è una importante nozione di algebra, e più precisamente di teoria dei gruppi.
Dato un gruppo $G$, un sottogruppo $K$ di $G$ è normale (o invariante) se i laterali sinistro e destro di ogni elemento $g$ di $G$ coincidono, ovvero:
$gK = Kg$"
Da quanto mi hai spiegato quindi sarebbe che $5ZZ = ZZ5$? Quello che ora pero' non mi torna e' in base a cosa prendo come riferimento l'insieme $5ZZ$ piuttosto che $1+5ZZ$ o il $2+5ZZ$??
Diciamo che mi potrei accontentare delle spiegazioni che mi hai dato, vorrei giusto capire questo: nel link relativo al sottogruppo normale c'e' scritto:
"Il sottogruppo normale è una importante nozione di algebra, e più precisamente di teoria dei gruppi.
Dato un gruppo $G$, un sottogruppo $K$ di $G$ è normale (o invariante) se i laterali sinistro e destro di ogni elemento $g$ di $G$ coincidono, ovvero:
$gK = Kg$"
Da quanto mi hai spiegato quindi sarebbe che $5ZZ = ZZ5$? Quello che ora pero' non mi torna e' in base a cosa prendo come riferimento l'insieme $5ZZ$ piuttosto che $1+5ZZ$ o il $2+5ZZ$??
sarò franco: non hai capito assolutamente nulla.
ricomincia da capo: cos'è un sottogruppo? definizione.
quando un sottogruppo è normale? definizione.
lascia perdere le classi laterali
ora comincia con il dare esempi i gruppi, e di loro sottogruppi.
ricomincia da capo: cos'è un sottogruppo? definizione.
quando un sottogruppo è normale? definizione.
lascia perdere le classi laterali
ora comincia con il dare esempi i gruppi, e di loro sottogruppi.
Ok, andiamo con ordine.
Un sottogruppo e' un sottoinsieme di un gruppo, cioe' un insieme a cui e' associata un'operazione binaria, su cui e' verificata la proprieta' associativa, l'esistenza dell'elemento neutro e dell'elemento inverso, se poi il gruppo "soddisfa" la proprieta' commutativa si parla di gruppo abeliano.
Il sottogruppo, essendo appunto un sottoinsieme di un gruppo, deve "soddisfare" questi requisiti.
Un sottogruppo e' un sottoinsieme di un gruppo, cioe' un insieme a cui e' associata un'operazione binaria, su cui e' verificata la proprieta' associativa, l'esistenza dell'elemento neutro e dell'elemento inverso, se poi il gruppo "soddisfa" la proprieta' commutativa si parla di gruppo abeliano.
Il sottogruppo, essendo appunto un sottoinsieme di un gruppo, deve "soddisfare" questi requisiti.
già qui non mi piace tanto, devi imparare ad essere più conciso e preciso.
tu saresti felice di leggere su un libro una definizione come quella che hai dato?
io no.
dai prova a dare in maniera corretta e semplice definizioni di sottogruppo e sottogruppo normale.
e qualche esempio di sottogruppi soprattutto!
tu saresti felice di leggere su un libro una definizione come quella che hai dato?
io no.
dai prova a dare in maniera corretta e semplice definizioni di sottogruppo e sottogruppo normale.
e qualche esempio di sottogruppi soprattutto!
Allora parto dal concetto di gruppo, cosi' mi chiarisco le idee:
un gruppo e' una struttura algebrica formata da un insieme non vuoto $A$ e da un operazione binaria ad esso associata tale che:
$A \times A -> A$
$(a,b) |-> a * b$
e che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
1) chiusura: $AAa,b in A => a*b in A$
2) associativita': $a*(b*c) = (a*b)*c$
3) elemento neutro: $EEi in A | AAa in A => a*i = i*a = a$
4) elemento inverso: $(AAa in A)(EEa^-1) | a*a^-1=i$ dove $i$ e' l'elemento neutro
Un esempio di gruppo e' $(ZZ,+)$ in quanto l'operazione di addizione e' sempre possibile, l'addizione e' associativa, esiste l'elemento neutro (lo $0$ in questo caso)
ed esiste l'elemento inverso ($-a in ZZ)
Un sottogruppo $A'$ e' un sottoinsieme $A' sub A$ del gruppo $A$: $(A',*)$ tale che $A'$ soddisfi le seguenti condizioni:
1) chiusura di $a*b in A'$
2) associativita'
3) elemento neutro
4) elemento inverso
un esempio di sottogruppo e' $ZZ' sub (ZZ,*)={0}$ cioe' dall'elemento neutro, e si definisce sottogruppo banale, oppure un sottogruppo e' $(ZZ,+)$ visto come sottoinsieme improprio di $ZZ$
un gruppo e' una struttura algebrica formata da un insieme non vuoto $A$ e da un operazione binaria ad esso associata tale che:
$A \times A -> A$
$(a,b) |-> a * b$
e che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
1) chiusura: $AAa,b in A => a*b in A$
2) associativita': $a*(b*c) = (a*b)*c$
3) elemento neutro: $EEi in A | AAa in A => a*i = i*a = a$
4) elemento inverso: $(AAa in A)(EEa^-1) | a*a^-1=i$ dove $i$ e' l'elemento neutro
Un esempio di gruppo e' $(ZZ,+)$ in quanto l'operazione di addizione e' sempre possibile, l'addizione e' associativa, esiste l'elemento neutro (lo $0$ in questo caso)
ed esiste l'elemento inverso ($-a in ZZ)
Un sottogruppo $A'$ e' un sottoinsieme $A' sub A$ del gruppo $A$: $(A',*)$ tale che $A'$ soddisfi le seguenti condizioni:
1) chiusura di $a*b in A'$
2) associativita'
3) elemento neutro
4) elemento inverso
un esempio di sottogruppo e' $ZZ' sub (ZZ,*)={0}$ cioe' dall'elemento neutro, e si definisce sottogruppo banale, oppure un sottogruppo e' $(ZZ,+)$ visto come sottoinsieme improprio di $ZZ$
"GundamRX91":
$A \times A -> A$
$(a,b) |-> a * b$
e che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
1) chiusura: $AAa,b in A => a*b in A$
no chiusura è superfluo.. è ovvio che se l'operazione è definita da $A \times A \to A$ non c'è bisogno di specificare.
occhio che poi la condizione che tu chiami 4 è da esporre così:
elemento inverso: [tex]\forall a \in A \ \exists a^{-1}\ | \ a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=i[/tex]
cioè sia a destra che sinistra.
riesci a fare esempi un po' più significativi di sottogruppi, diciamo proprio di [tex]\mathbb{Z}[/tex] ?
hai ragione, dimentico sempre che la condizione della presenza dell'elemento inverso va considerata sia a destra, sia a sinistra.
Un esempio piu' concreto di sottogruppo e' $(ZZ_5,+)={0,1,2,3,4}$ dove l'operazione binaria $+$ e' la somma modulare: anche in questo caso ho
1) la chiusura della somma: ad esempio $4+3 mod 5 = 2$ oppure $0+1 mod 5 = 1$
2) e' associativo
3) esiste l'elemento neutro (lo $0$)
4) esiste l'elemento inverso $5-n$ per $n in ZZ_5$
Un esempio piu' concreto di sottogruppo e' $(ZZ_5,+)={0,1,2,3,4}$ dove l'operazione binaria $+$ e' la somma modulare: anche in questo caso ho
1) la chiusura della somma: ad esempio $4+3 mod 5 = 2$ oppure $0+1 mod 5 = 1$
2) e' associativo
3) esiste l'elemento neutro (lo $0$)
4) esiste l'elemento inverso $5-n$ per $n in ZZ_5$
assolutamente, categoricamente, decisamente, prepotentemente no!!!
[tex]\mathbb{Z} _{/5}[/tex] non è un sottoinsieme di [tex]\mathbb{Z}[/tex] !!
i suoi elementi non sono per niente elementi di [tex]\mathbb{Z}[/tex]
ti pare che per due elementi di [tex]\mathbb{Z}[/tex] sia possibile che [tex]2=7[/tex] ??
purtroppo sono concetti molto diversi..
[tex]\mathbb{Z} _{/5}[/tex] non è un sottoinsieme di [tex]\mathbb{Z}[/tex] !!
i suoi elementi non sono per niente elementi di [tex]\mathbb{Z}[/tex]
ti pare che per due elementi di [tex]\mathbb{Z}[/tex] sia possibile che [tex]2=7[/tex] ??
purtroppo sono concetti molto diversi..
oddio, $ZZ_5$ non e' un sottoinsieme di $ZZ$??? 
Per favore potresti farmi un esempio, perche' allora non ho proprio capito come si crea un sottogruppo
Per favore potresti farmi un esempio, perche' allora non ho proprio capito come si crea un sottogruppo
un sottogruppo di [tex]\mathbb{Z}[/tex] deve essere innanzitutto un sottoinsieme come dicevo..
ad esempio un sottogruppo è [tex]7\mathbb{Z}=\left\{7n\ |\ n\in\mathbb{Z} \right\}[/tex] ovvero i multipli di [tex]7[/tex]
verifica che è un sottogruppo.
ad esempio un sottogruppo è [tex]7\mathbb{Z}=\left\{7n\ |\ n\in\mathbb{Z} \right\}[/tex] ovvero i multipli di [tex]7[/tex]
verifica che è un sottogruppo.
$7ZZ={..,-28,-21,-14,-7,0,7,14,21,28,..}$
dovrebbe essere un sottogruppo, perche':
1) e' chiuso rispetto l'addizione: ad esempio $77+21=98$ che e' un multiplo di $7$
2) e' chiaramente associativo
3) esiste l'elemento neutro: $7+0=7=0+7$
4) esiste l'elemento inverso: ad esempio $-7+7=0$
pero' se considero l'operazione binaria di moltiplicazione non ho l'elemento neutro $1 notin 7ZZ$ e quindi non posso neanche verificare l'esistenza dell'elemento inverso (seppure ci sia nell'insieme...). Ma allora il sottoinsieme $7ZZ$ e' un sottogruppo $(7ZZ,+)$ ma non $(7ZZ,*)$ ?
dovrebbe essere un sottogruppo, perche':
1) e' chiuso rispetto l'addizione: ad esempio $77+21=98$ che e' un multiplo di $7$
2) e' chiaramente associativo
3) esiste l'elemento neutro: $7+0=7=0+7$
4) esiste l'elemento inverso: ad esempio $-7+7=0$
pero' se considero l'operazione binaria di moltiplicazione non ho l'elemento neutro $1 notin 7ZZ$ e quindi non posso neanche verificare l'esistenza dell'elemento inverso (seppure ci sia nell'insieme...). Ma allora il sottoinsieme $7ZZ$ e' un sottogruppo $(7ZZ,+)$ ma non $(7ZZ,*)$ ?
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