Sottogruppi normali e classi laterali destre e sinistre
Date le definizinizioni trovate su wikipedia (http://it.wikipedia.org/wiki/Sottogruppo_normale e http://it.wikipedia.org/wiki/Laterale) ho cercato di farmi qualche esempio di queste strutture ma non ci sono riuscito molto bene, o almeno penso visto che non riesco a capire soprattutto il concetto di classe laterale. Potreste indicarmi qualche esempio concreto di classe laterale?
Grazie mille
Grazie mille
Risposte
Senti Gundam devi imparare a pensare di più alle cose, e inoltre stai facendo matematica, devi capire cosa vuol dire dimostrare.
[tex]7\mathbb{Z}[/tex] non si scrive elencando un po' di elementi a caso, può andare bene ma io non ti ho mai visto scrivere un insieme caratterizzando i suoi elementi, cosa che invece è da fare.
1) non si dimostra niente con degli esempi. secondo te dire che [tex]77+21=98[/tex] è divisibile per [tex]7[/tex] dimostra che [tex]7\mathbb{Z}[/tex] è un sottogruppo??
3) non è che esiste l'elemento neutro, è che contiene l'elemento neutro di [tex]\mathbb{Z}[/tex] che è proprio lo [tex]0[/tex] !!
dicendo che [tex]7+0=7[/tex] non dimostri nulla sulle proprietà di [tex]0[/tex] !!
4) come sopra, non puoi dimostrare niente con gli esempi.
poi, ma quando mai hai sentito dire che [tex]\left(\mathbb{Z}, \cdot \right)[/tex] è un gruppo? ma come potrebbe esserlo? pensaci un attimino prima di scriverlo
[tex]7\mathbb{Z}[/tex] non si scrive elencando un po' di elementi a caso, può andare bene ma io non ti ho mai visto scrivere un insieme caratterizzando i suoi elementi, cosa che invece è da fare.
1) non si dimostra niente con degli esempi. secondo te dire che [tex]77+21=98[/tex] è divisibile per [tex]7[/tex] dimostra che [tex]7\mathbb{Z}[/tex] è un sottogruppo??
3) non è che esiste l'elemento neutro, è che contiene l'elemento neutro di [tex]\mathbb{Z}[/tex] che è proprio lo [tex]0[/tex] !!
dicendo che [tex]7+0=7[/tex] non dimostri nulla sulle proprietà di [tex]0[/tex] !!
4) come sopra, non puoi dimostrare niente con gli esempi.
poi, ma quando mai hai sentito dire che [tex]\left(\mathbb{Z}, \cdot \right)[/tex] è un gruppo? ma come potrebbe esserlo? pensaci un attimino prima di scriverlo
Black non per giustificarmi, ma relativamente all'elemento neutro e inverso di un gruppo in piu' di una dispensa ho trovato che viene proprio definito come "l'esistenza dell'elemento neutro...", "l'esistenza dell'elemento inverso...", tra cui proprio la dispensa del mio docente; poi che io sia, passami il termine, poco preciso questo e' vero, e mi scuso per il tempo che ti faccio perdere a correggermi ogni volta.
Detto questo ci riprovo.
La questione e' capire se $7ZZ := {7n | n in ZZ}$ e' un sottogruppo oppure no.
Posto che $7ZZ sub ZZ$, deve verificare le seguenti proprieta':
1) chiusura rispetto l'addizione: $AAa,b in 7ZZ => a+b in 7ZZ$
2) associativa: $AAa,b in 7ZZ => a+b = b+a$
3) contiene l'elemento neutro: $EEe in 7ZZ | AAn in 7ZZ => n + e = e + n = n$
4) contiene l'elemento inverso: $EEi in 7ZZ | AAn in 7Z => n + i = i +n = e$ ($e$ = elemento neutro)
$(ZZ,*)$ non e' possibile che sia un gruppo perche' non ammette l'elemento inverso: in $ZZ$ gli unici elementi che ammettono l'inverso sono $1$ e $-1$, piuttosto da quello che ho capito $(ZZ,*)$ si definisce un monoide commutativo.
Grazie
Detto questo ci riprovo.
La questione e' capire se $7ZZ := {7n | n in ZZ}$ e' un sottogruppo oppure no.
Posto che $7ZZ sub ZZ$, deve verificare le seguenti proprieta':
1) chiusura rispetto l'addizione: $AAa,b in 7ZZ => a+b in 7ZZ$
2) associativa: $AAa,b in 7ZZ => a+b = b+a$
3) contiene l'elemento neutro: $EEe in 7ZZ | AAn in 7ZZ => n + e = e + n = n$
4) contiene l'elemento inverso: $EEi in 7ZZ | AAn in 7Z => n + i = i +n = e$ ($e$ = elemento neutro)
$(ZZ,*)$ non e' possibile che sia un gruppo perche' non ammette l'elemento inverso: in $ZZ$ gli unici elementi che ammettono l'inverso sono $1$ e $-1$, piuttosto da quello che ho capito $(ZZ,*)$ si definisce un monoide commutativo.
Grazie
"GundamRX91":
2) associativa: $AAa,b in 7ZZ => a+b = b+a$
4) contiene l'elemento inverso: $EEi in 7ZZ | AAn in 7Z => n + i = i +n = e$ ($e$ = elemento neutro)
mi viene da piangere.
occavoli!!! 
Okkey, mi autotiro le orecchie: la proprieta' associativa e' la seguente: la somma di due o piu' addendi non cambia se a due o piu' addendi si sostituisce la loro somma
$AAa,b,c in 7ZZ => (a+b)+c = a+(b+c)$
per l'elemento inverso forse e' piu' corretto in questo modo: $(AAn in 7ZZ)(EE-i in 7ZZ) | n+(-i) = 0$
PS. chiedo scusa a tutti per le mega-castronerie che sto scrivendo, vi chiedo solo di avere pazienza come lo si fa con un neonato
Okkey, mi autotiro le orecchie: la proprieta' associativa e' la seguente: la somma di due o piu' addendi non cambia se a due o piu' addendi si sostituisce la loro somma
$AAa,b,c in 7ZZ => (a+b)+c = a+(b+c)$
per l'elemento inverso forse e' piu' corretto in questo modo: $(AAn in 7ZZ)(EE-i in 7ZZ) | n+(-i) = 0$
PS. chiedo scusa a tutti per le mega-castronerie che sto scrivendo, vi chiedo solo di avere pazienza come lo si fa con un neonato
non è che "forse è più corretto", è che ha senso perlomeno. poi se scrivi$n$ allora perché indichi il suo inverso con $-i$? sarà $-n$ no?
comunque adesso che siamo riusciti a capire cosa c'è da dimostrare, dimostriamolo:
1. in generale, cioè per ogni gruppo, è vero che in un qualunque sottoinsieme vale la proprietà associativa (ti è chiaro il motivo vero?), quindi questo non è mai da verificare.
2. chiusura del sottogruppo: questo va verificato.
3. elemento neutro: dovresti sapere che in un gruppo l'elemento neutro è unico, quindi non devi verificare che in un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ esiste un elemento tale che ecc. ecc. ma devi soltanto verificare (condizione necessaria e sufficiente) che l'elemento $e$ del gruppo $G$, appartenga ad $H$.
4. esistenza dell' inverso: va verificata.
adesso arriviamo alla fatidica dimostrazione che $7ZZ$ è un sottogruppo di $ZZ$ ?
comunque adesso che siamo riusciti a capire cosa c'è da dimostrare, dimostriamolo:
1. in generale, cioè per ogni gruppo, è vero che in un qualunque sottoinsieme vale la proprietà associativa (ti è chiaro il motivo vero?), quindi questo non è mai da verificare.
2. chiusura del sottogruppo: questo va verificato.
3. elemento neutro: dovresti sapere che in un gruppo l'elemento neutro è unico, quindi non devi verificare che in un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ esiste un elemento tale che ecc. ecc. ma devi soltanto verificare (condizione necessaria e sufficiente) che l'elemento $e$ del gruppo $G$, appartenga ad $H$.
4. esistenza dell' inverso: va verificata.
adesso arriviamo alla fatidica dimostrazione che $7ZZ$ è un sottogruppo di $ZZ$ ?
"blackbishop13":
non è che "forse è più corretto", è che ha senso perlomeno. poi se scrivi$n$ allora perché indichi il suo inverso con $-i$? sarà $-n$ no?
ok
"blackbishop13":
comunque adesso che siamo riusciti a capire cosa c'è da dimostrare, dimostriamolo:
1. in generale, cioè per ogni gruppo, è vero che in un qualunque sottoinsieme vale la proprietà associativa (ti è chiaro il motivo vero?), quindi questo non è mai da verificare.
quindi essendo la proprieta', diciamo, implicita e' sufficiente enunciarla?
"blackbishop13":
2. chiusura del sottogruppo: questo va verificato.
ok
"blackbishop13":
3. elemento neutro: dovresti sapere che in un gruppo l'elemento neutro è unico, quindi non devi verificare che in un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ esiste un elemento tale che ecc. ecc. ma devi soltanto verificare (condizione necessaria e sufficiente) che l'elemento $e$ del gruppo $G$, appartenga ad $H$.
ok
"blackbishop13":
4. esistenza dell' inverso: va verificata.
ok
"blackbishop13":
adesso arriviamo alla fatidica dimostrazione che $7ZZ$ è un sottogruppo di $ZZ$ ?
Premesse le note di cui sopra, espongo direttamente i punti richiesti, ok?
$7ZZ$ e' un sottogruppo in quanto:
1) e' chiaramente associativo
2) e' chiuso rispetto l'addizione: $AAa, b in 7ZZ => a+b in 7ZZ$
3) esistenza dell'elemento neutro: $0 in 7ZZ$
4) esistenza dell'elemento inverso: $(AAa in 7ZZ )(EE -a in 7ZZ) | a+(-a) = 0$
Black per il punto 3 io so che $0 in ZZ$ e anche a $7ZZ$, pero' non so se come e' scritto e' sufficiente oppure bisogna esplicitarlo regolarmente.
Ora mi preparo alle frustate....
"GundamRX91":
$7ZZ$ e' un sottogruppo in quanto:
1) e' chiaramente associativo
2) e' chiuso rispetto l'addizione: $AAa, b in 7ZZ => a+b in 7ZZ$
3) esistenza dell'elemento neutro: $0 in 7ZZ$
4) esistenza dell'elemento inverso: $(AAa in 7ZZ )(EE -a in 7ZZ) | a+(-a) = 0$
dici delle cose, ma dov'è la dimostrazione?
perché $a, b in 7ZZ => a+b in 7ZZ$ ?
perché $0 in 7ZZ$ ?
perché $(AAa in 7ZZ )(EE -a in 7ZZ) | a+(-a) = 0$ ? qual'è tale $-a$ ?
"blackbishop13":
[quote="GundamRX91"]
$7ZZ$ e' un sottogruppo in quanto:
1) e' chiaramente associativo
2) e' chiuso rispetto l'addizione: $AAa, b in 7ZZ => a+b in 7ZZ$
3) esistenza dell'elemento neutro: $0 in 7ZZ$
4) esistenza dell'elemento inverso: $(AAa in 7ZZ )(EE -a in 7ZZ) | a+(-a) = 0$
dici delle cose, ma dov'è la dimostrazione?
[/quote]
il dubbio di aver espresso solo delle "cose" mi e' venuto dopo l'ultimo post... ma oramai la frittata era fatta.
"blackbishop13":
perché $a, b in 7ZZ => a+b in 7ZZ$ ?
se $a,b in 7ZZ$ significa che $a$ e $b$ appartengono ad un insieme formato dai multipli di $7$ e che appartengono all'insieme dei numeri interi $ZZ$, e cioe' che $7ZZ$ e' un sottoinsieme di $ZZ$ da cui $AAa,b in 7ZZ => 7ZZ sub ZZ | a in 7ZZ ^^ b in 7ZZ => a+b in 7ZZ$
"blackbishop13":
perché $0 in 7ZZ$ ?
per definizione di $ZZ$ si ha che $0 in ZZ$, ma se $7ZZ sub ZZ => 7*0=0 in 7ZZ$
"blackbishop13":
perché $(AAa in 7ZZ )(EE -a in 7ZZ) | a+(-a) = 0$ ? qual'è tale $-a$ ?
per quest'ultimo punto non so come impostare la dimostrazione....
non c'è bisogno che riporti ogni volta i miei messaggi, così come fai non si capisce tanto bene.
guarda che ancora non hai dimostrato neanche il punto 2)
continui a scrivere: [tex]a,b \in 7\mathbb{Z} \Rightarrow a+b \in 7\mathbb{Z}[/tex] ma non dici perché.
non è che devi riscrivere le cose in maniera che ti sembra più formale, e che anzi di solito viene solo più pesante. devi dimostrare questa frase, prendendo due generici elementi di [tex]7\mathbb{Z}[/tex] e far vedere che anche la loro somma sta in [tex]7\mathbb{Z}[/tex]
insomma devi far vedere che la somma di numeri divisibili per $7$ è ancora divisibile per $7$, è questo che devi capire!!
il punto 4) è analogamente facile: prendi un elemento generico, cerchi il suo inverso in [tex]7\mathbb{Z}[/tex] e fai vedere che anche tale inverso appartiene a [tex]7\mathbb{Z}[/tex]
poi io sto sorvolando molto, ma il tuo matematichese lascia parecchio a desiderare, quando ti metti a scrivere le cose con i simboli spesso fai confusione e non sei corretto, ma per ora va bene così, cerco di capire cosa vuoi dire e ti vengo incontro.
guarda che ancora non hai dimostrato neanche il punto 2)
continui a scrivere: [tex]a,b \in 7\mathbb{Z} \Rightarrow a+b \in 7\mathbb{Z}[/tex] ma non dici perché.
non è che devi riscrivere le cose in maniera che ti sembra più formale, e che anzi di solito viene solo più pesante. devi dimostrare questa frase, prendendo due generici elementi di [tex]7\mathbb{Z}[/tex] e far vedere che anche la loro somma sta in [tex]7\mathbb{Z}[/tex]
insomma devi far vedere che la somma di numeri divisibili per $7$ è ancora divisibile per $7$, è questo che devi capire!!
il punto 4) è analogamente facile: prendi un elemento generico, cerchi il suo inverso in [tex]7\mathbb{Z}[/tex] e fai vedere che anche tale inverso appartiene a [tex]7\mathbb{Z}[/tex]
poi io sto sorvolando molto, ma il tuo matematichese lascia parecchio a desiderare, quando ti metti a scrivere le cose con i simboli spesso fai confusione e non sei corretto, ma per ora va bene così, cerco di capire cosa vuoi dire e ti vengo incontro.
black mi sto perdendo pure io 
anche perche' non so piu' cosa ho scritto di giusto (quel poco che sia ovviamente).
Posto che il punto 1 (proprieta' associativa) e punto 3 (esistenza elemento neutro) siano corretti (lo sono?), provo a concentrarmi sui punti 2 e 4; inoltre provero' a non
usare momentaneamente il formalismo matematico ma solo descrivendo i concetti, ok? Poi, se tutto va bene, provo a formalizzarli.
punto 2) se prendo due generici elementi dell'insieme $7ZZ$ e li sommo, devo verificare che tale somma appartenga ancora a $7ZZ$, e per fare questo dovrebbe (il condizionale e' d'obbligo...) essere sufficiente che la somma sia un multiplo di $7$
punto 4) prendendo un generico elemento dell'insieme $7ZZ$ il suo inverso esiste se c'e' un elemento di segno opposto, che appartiene sempre a $7ZZ$, tale che sommati assieme diano zero.
anche perche' non so piu' cosa ho scritto di giusto (quel poco che sia ovviamente).Posto che il punto 1 (proprieta' associativa) e punto 3 (esistenza elemento neutro) siano corretti (lo sono?), provo a concentrarmi sui punti 2 e 4; inoltre provero' a non
usare momentaneamente il formalismo matematico ma solo descrivendo i concetti, ok? Poi, se tutto va bene, provo a formalizzarli.
punto 2) se prendo due generici elementi dell'insieme $7ZZ$ e li sommo, devo verificare che tale somma appartenga ancora a $7ZZ$, e per fare questo dovrebbe (il condizionale e' d'obbligo...
) essere sufficiente che la somma sia un multiplo di $7$punto 4) prendendo un generico elemento dell'insieme $7ZZ$ il suo inverso esiste se c'e' un elemento di segno opposto, che appartiene sempre a $7ZZ$, tale che sommati assieme diano zero.
senti facciamo così, ormai mi sembra stupido continuare a dirci le stesse cose:
Proposizione: [tex]7\mathbb{Z}=\left\{7\cdot n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}[/tex] è un sottogruppo di [tex]\mathbb{Z}[/tex]
Dimostrazione:
1. chiaramente [tex]7\mathbb{Z}[/tex] è un sottoinsieme di [tex]\mathbb{Z}[/tex], quindi vale la proprietà associativa.
2. [tex]\forall x,y \in 7\mathbb{Z}[/tex] si ha che [tex]x=7\cdot a,\ y=7\cdot b[/tex] con [tex]a,b \in\mathbb{Z}[/tex] quindi [tex]x+y=7\cdot a + 7\cdot b=7\cdot \left( a+b\right) \Rightarrow \left( x+y \right) \in 7\mathbb{Z}[/tex]
3. [tex]0=7\cdot 0 \in 7\mathbb{Z}[/tex]
4. [tex]\forall x \in 7\mathbb{Z}[/tex] come visto [tex]x=7 \cdot a[/tex] e quindi [tex]-x=-\left( 7\cdot a \right)=7 \cdot\left( -a \right)\ \Rightarrow -x \in 7\mathbb{Z}[/tex]
fine dimostrazione.
adesso medita e comprendi.
Proposizione: [tex]7\mathbb{Z}=\left\{7\cdot n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}[/tex] è un sottogruppo di [tex]\mathbb{Z}[/tex]
Dimostrazione:
1. chiaramente [tex]7\mathbb{Z}[/tex] è un sottoinsieme di [tex]\mathbb{Z}[/tex], quindi vale la proprietà associativa.
2. [tex]\forall x,y \in 7\mathbb{Z}[/tex] si ha che [tex]x=7\cdot a,\ y=7\cdot b[/tex] con [tex]a,b \in\mathbb{Z}[/tex] quindi [tex]x+y=7\cdot a + 7\cdot b=7\cdot \left( a+b\right) \Rightarrow \left( x+y \right) \in 7\mathbb{Z}[/tex]
3. [tex]0=7\cdot 0 \in 7\mathbb{Z}[/tex]
4. [tex]\forall x \in 7\mathbb{Z}[/tex] come visto [tex]x=7 \cdot a[/tex] e quindi [tex]-x=-\left( 7\cdot a \right)=7 \cdot\left( -a \right)\ \Rightarrow -x \in 7\mathbb{Z}[/tex]
fine dimostrazione.
adesso medita e comprendi.
sono senza parole.... direi che cosi' e' chiarissimo e semplice, senza contare che sei stato anche discorsivo.
Per ora posso solo dire grazie.
Per ora posso solo dire grazie.
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