Sottogruppi normali di $S_n$

[gygabyte017]

Sapevo che i sottogruppi normali non banali di $S_3$ erano:

$N_1={e,(12)}$
$N_2={e,(13)}$
$N_3={e,(23)}$
$N_4={e,(123),(132)}=A_3$

Ora invece ho letto che l'unico normale è quello alterno... Qual è la verità?

In generale in $S_n$ chi sono i sottogruppi normali (sempre se esiste una formula per trovarli al volo)?

Grazie

Ah e invece nei diedrali, i sottogruppi normali di $D_n$ sono solo quelli banali se $n$ è dispari, o $N={e,varphi^(n/2)}$ se $n$ è pari (sarebbe la rotazione di 180°), giusto?

[pic2]

(123)(12)(132)=(23), usando la notazione da destra verso sinistra, quindi quello scambio non fa un sottogruppo normale. Ovviamente nessuno scambio, quindi l'unico sgp normale è quello alterno. Per $S_n$ con $n\geq 5$ in generale c'è solo quello alterno, che addirittura non ha sottogruppi normali non banali. Invece nel caso di $A_4$, esso ha come sgp normale il gruppo di Klein dei doppi scambi, che è normale anche in $S_4$.

[pic2]

Ah, nei diedrali, direi che il $C_n$ è normale poiché ha indice 2.

[gygabyte017]

Benissimo, grazie!