Sottogruppi normali

[paolag1]

Dimostrazione che per $A_4$ non vale l'inverso del teorema di Lagrange: supponiamo per assurdo che H sia un sottogruppo di ordine 6 di $A_4$. Allora H sarebbe un sottogruppo normale di $A_4$ ( avendo indice 2) e quindi, contenendo un 3-sottogruppo di Sylow ( immagino per il primo teorema di Sylow), dovrebbe contenere ogni elemento di periodo 3. Ma $A_4$ possiede otto elementi di periodo 3 e quindi H non può avere ordine 6. Quello che mi sfugge è: perché essendo H normale dovrebbe contenere ogni elemento di periodo 3? Sarà sicuramente facile, ma adesso non mi viene. C'è qualcuno che lo sa??

[drughe]

perchè gli elementi di periodo 3 non possono stare in un gruppo di cardinalità 4 o 2 che sarebbe la parte rimanente di A4

[Studente Anonimo]

Formalmente, perche' i p-Sylow sono tutti coniugati, quindi se un sottogruppo normale ne contiene uno allora li contiene tutti.

[paolag1]

"drughe":perchè gli elementi di periodo 3 non possono stare in un gruppo di cardinalità 4 o 2 che sarebbe la parte rimanente di A4

Ma non possono stare in gruppi di ordine 3 non inclusi in H?

[paolag1]

"Martino":Formalmente, perche' i p-Sylow sono tutti coniugati, quindi se un sottogruppo normale ne contiene uno allora li contiene tutti.

Sono tutti coniugati per il secondo teorema di Sylow. Adesso ho capito. Grazie!!