Sottogruppi normali
se ho un gruppo come posso determinare tutti i suoi sottogruppi normali?? Grazie mille x la risposta!
Risposte
non puoi.
prego.
prego.
"blackbishop13":
non puoi.
prego.
Sempre lapidario eh
Quello che il buon bishop voleva dire è che per gruppi generici la questione potrebbe non essere semplicissima (anzi non lo è!). Per gruppi piuttosto piccoli e noti si può tentare di fare.
Ti va di fare qualche esempio, magari lo vediamo insieme!
ok..prendiamo ad esempio S4 ( il gruppo simmetrico)!
Un gruppo normale è stabile rispetto all'azione per coniugio. Quindi puoi pensare ad essere come ad un gruppo ottenuto mediante unione di classi di coniugio. E le classi di coniugio di $S_4$ son facili da determinare no?
Inizia con lo scrivere quelle.
Inoltre ricorda dal teorema di Lagrange che l'ordine di un qualsiasi sottogruppo di $S_4$ deve dividere $4!$. E ricorda che un sottogruppo per essere tale deve contenere sicuramente l'unità.
Credo che tu adesso abbia tutti gli strumenti per provarci!
PS credo di essermi dimentica. Non è detto che tutti gli insiemi che ottieni unendo classi di coniugio ed unità siano sottogruppi, questa è una cosa che va verificata direttamente!
Inizia con lo scrivere quelle.
Inoltre ricorda dal teorema di Lagrange che l'ordine di un qualsiasi sottogruppo di $S_4$ deve dividere $4!$. E ricorda che un sottogruppo per essere tale deve contenere sicuramente l'unità.
Credo che tu adesso abbia tutti gli strumenti per provarci!
PS credo di essermi dimentica. Non è detto che tutti gli insiemi che ottieni unendo classi di coniugio ed unità siano sottogruppi, questa è una cosa che va verificata direttamente!
"mistake89":
Quello che il buon bishop voleva dire è che per gruppi generici la questione potrebbe non essere semplicissima (anzi non lo è!).
Secondo me intendeva proprio dire che è impossibile. Comunque dipende da come è definito il gruppo. Se tu hai un gruppo come presentazione e il gruppo ha il problema di coniugazione non risolubile (http://en.wikipedia.org/wiki/Conjugacy_problem) io lo vedo proprio come un lavoro impossibile. Inoltre anche in casi più tranquilli ci potrebbero essere infiniti sottogruppi normali.
Per i gruppi finiti piccoli i metodi sono vari.
Sì vict, lo so bene che è un problema "impossibile". Tuttavia mi sembrava una risposta un po' troppo stringata verso chi aveva qualche dubbio che meritava qualche parola in più. Anche perché nei corsi base, capitano spesso casi "fortunati" e quindi può tornare utile farli vedere.
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