Sottogruppi normali
Dato $G$ gruppo e $H$ sottogruppo di $G$, dimostrare che se il prodotto di due laterali destri di $H$ in $G$ è un laterale destro di $H$ in $G$, allora $H$ è normale in $G$
allora...io ho iniziato una dimostrazione ma non so se son leciti i passaggi.
$HaHb=Hc$ per ipotesi
$HaHbc^(-1)=Hc c^(-1)$ moltiplicando a destra per l'inverso di $c$ (si può fare?)
pongo $bc^(-1)=d$
$HaHd=H$
per ipotesi il prodotto di due laterali destri è un laterale destro
$HaHd=Hm=H$
e quindi
$Hm=H$
Non so se ho detto un sacco di sciocchezze oppure la dimostrazione va solo completata.
Più che alla dimostrazione sarei parecchio interessato ai miei passaggi... son leciti?
allora...io ho iniziato una dimostrazione ma non so se son leciti i passaggi.
$HaHb=Hc$ per ipotesi
$HaHbc^(-1)=Hc c^(-1)$ moltiplicando a destra per l'inverso di $c$ (si può fare?)
pongo $bc^(-1)=d$
$HaHd=H$
per ipotesi il prodotto di due laterali destri è un laterale destro
$HaHd=Hm=H$
e quindi
$Hm=H$
Non so se ho detto un sacco di sciocchezze oppure la dimostrazione va solo completata.
Più che alla dimostrazione sarei parecchio interessato ai miei passaggi... son leciti?
Risposte
Certo che sono leciti.
Ma cosa avresti dimostrato giunto a $Hm=H$?
(tieni presente che $H$ è sempre un laterale destro di $H$ dato che $H=H*1$).
Ma cosa avresti dimostrato giunto a $Hm=H$?
(tieni presente che $H$ è sempre un laterale destro di $H$ dato che $H=H*1$).
A dir la verità speravo che si giungesse da qualche parte ragionando così...
Comunque mi era necessario sapere se passaggi del genere erano leciti dato che li ho utilizzati in altre dimostrazioni.
Ad ogni modo il problema resta aperto...continuerò a lavorarci su...
E come al solito se qualcuno ha qualche suggerimento da dare...è ben accetto.
Comunque mi era necessario sapere se passaggi del genere erano leciti dato che li ho utilizzati in altre dimostrazioni.
Ad ogni modo il problema resta aperto...continuerò a lavorarci su...
E come al solito se qualcuno ha qualche suggerimento da dare...è ben accetto.
Il principio generale su cui si basa questa dimostrazione è che gli assiomi minimali di gruppo non richiedono che l'elemento neutro e l'inverso lo siano da entrambe le parti ma, si può dimostrare facilmente, che una struttura algebrica con una operazione associativa e che ammette elemento neutro destro (sinistro) e inverso destro (sinistro) è un gruppo.
N.B: l'elemento neutro e l'inverso devono essere entrambi destri o entrambi sinistri.
Tu hai trovato che $Ha$ ha un inverso destro, cioé $Hbc^(-1)$. Puoi trovare un laterale $Hb$ per cui $HaHb = Ha$?
P.S: una volta che hai dimostrato che il gruppo dei laterali destri è un gruppo non ti dovrebbe essere difficile dimostrare che è normale...
N.B: l'elemento neutro e l'inverso devono essere entrambi destri o entrambi sinistri.
Tu hai trovato che $Ha$ ha un inverso destro, cioé $Hbc^(-1)$. Puoi trovare un laterale $Hb$ per cui $HaHb = Ha$?
P.S: una volta che hai dimostrato che il gruppo dei laterali destri è un gruppo non ti dovrebbe essere difficile dimostrare che è normale...
bè si...
il fatto che i laterali destri (limitiamoci a quelli) formino un gruppo lo si dimostra banalmente verificando tutti gli assiomi...
ma per dimostrare che $N$ è normale dovrei dimostare
$gHg^(-1)=H$
e non mi sembra poi così tanto immediato...
il fatto che i laterali destri (limitiamoci a quelli) formino un gruppo lo si dimostra banalmente verificando tutti gli assiomi...
ma per dimostrare che $N$ è normale dovrei dimostare
$gHg^(-1)=H$
e non mi sembra poi così tanto immediato...
$HaH = Ha$ implica $aHa^(-1) = H$.
Infatti $HaH = Ha \Rightarrow HaHa^(-1) = H \Rightarrow aHa^(-1) \subset H$ ma $|aHa^(-1)| = |H|$ e quindi $aHa^(-1) = H$
E' per questo che in una discussione precedente avevo ricavato l'elemento neutro e l'inverso sinistri, invece di quelli destri, per dimostrare che era un gruppo. A me era sembrata una strada più semplice...
Un metodo alternativo è cercare una funzione da $G$ a $H\\G$ con kernel $H$...
P.S: se usavi la funzione cerca trovavi la mia dimostrazione (fatta piuttosto velocemente a dire il vero)
Infatti $HaH = Ha \Rightarrow HaHa^(-1) = H \Rightarrow aHa^(-1) \subset H$ ma $|aHa^(-1)| = |H|$ e quindi $aHa^(-1) = H$
E' per questo che in una discussione precedente avevo ricavato l'elemento neutro e l'inverso sinistri, invece di quelli destri, per dimostrare che era un gruppo. A me era sembrata una strada più semplice...
Un metodo alternativo è cercare una funzione da $G$ a $H\\G$ con kernel $H$...
P.S: se usavi la funzione cerca trovavi la mia dimostrazione (fatta piuttosto velocemente a dire il vero)
"vict85":
$HaHa^(-1) = H \Rightarrow aHa^(-1) \subset H$
...potresti giustificarmi il passaggio?
$HaHa^-1 = H$ corrisponde a dire che $AA h_1, h_2 \in H EE h_3 \in H$ tale che $h_1ah_2a^(-1) = h_3$. Ovviamente $h_1$ e $h_2$ sono libere, mentre $h_3$ dipende da $h_1$ e $h_2$.
Se noi miltiplichiamo la relazione a sinistra per $h_1^(-1)$ ricaviamo $ah_2a^(-1) = h_1^(-1)h_3$. Il valore $h_1^(-1)h_3$ appartiene ad $H$ qualsiasi sia $h_1$, ma a priori non è corretto supporre che al variare di $h_1$, il prodotto $h_1^(-1)h_3$ dia sempre risultati differenti perché $h_3$ dipende dal valore di $h_1$.
E quindi ripassando agli insiemi si ricava $aHa^(-1) \subset H$
Se noi miltiplichiamo la relazione a sinistra per $h_1^(-1)$ ricaviamo $ah_2a^(-1) = h_1^(-1)h_3$. Il valore $h_1^(-1)h_3$ appartiene ad $H$ qualsiasi sia $h_1$, ma a priori non è corretto supporre che al variare di $h_1$, il prodotto $h_1^(-1)h_3$ dia sempre risultati differenti perché $h_3$ dipende dal valore di $h_1$.
E quindi ripassando agli insiemi si ricava $aHa^(-1) \subset H$
Benissimo, il passaggio è chiaro
Avrei solo un piccolissimo dubbio che, chiarito, porrà fine a questa esasperata dimostrazione.
Volendo trovare l'elemento neutro faccio
$NeNa=N$ $Na=Na$
Ponendo che in generale (e sicuramente mi sbaglio) per qualsiasi sottogruppo $HH=H$ a causa della chiusura di $H$
ma se $Ne$ è l'elemento neutro (e lo è)...devo dimostrare che $NaNe=Na=N$
ma non ci riesco.
Avrei solo un piccolissimo dubbio che, chiarito, porrà fine a questa esasperata dimostrazione.
Volendo trovare l'elemento neutro faccio
$NeNa=N$ $Na=Na$
Ponendo che in generale (e sicuramente mi sbaglio) per qualsiasi sottogruppo $HH=H$ a causa della chiusura di $H$
ma se $Ne$ è l'elemento neutro (e lo è)...devo dimostrare che $NaNe=Na=N$
ma non ci riesco.
Se ci fossi riuscito non era necessario dimostrare che era un gruppo (come avevo fatto io in passato).
In ogni caso.. Nel caso N sia finito:
Sia $a$ un elemento qualsiasi di $G$. Cerchiamo quindi di determinare per quali elementi $e \in G$, se esistono, $NaNe = Na$.
$NaNe = Na \Rightarrow Ne = (Na)^(-1)Na \Rightarrow Ne \subset a^(-1)Na$. Nel caso $N$ sia un insieme finito allora $|Ne| = |a^(-1)Na|$ e quindi $Ne = a^(-1)Na$ (un insieme infinito può avere sottogruppi della sua stessa cardinalità).
Nel caso finito dato che quegli insieme hanno la stessa cardinalità esisterà un $h \in N$ per cui $he = a^(-1)1a \Rightarrow he = 1$ e quindi $h = e^(-1)$ ma $h \in N$ e quindi $e \in N$
Ma se $e \in N$ allora $N = a^(-1)Na$ e quindi $N$ è normale.
Per il caso più generale ci sto lavorando...
In ogni caso.. Nel caso N sia finito:
Sia $a$ un elemento qualsiasi di $G$. Cerchiamo quindi di determinare per quali elementi $e \in G$, se esistono, $NaNe = Na$.
$NaNe = Na \Rightarrow Ne = (Na)^(-1)Na \Rightarrow Ne \subset a^(-1)Na$. Nel caso $N$ sia un insieme finito allora $|Ne| = |a^(-1)Na|$ e quindi $Ne = a^(-1)Na$ (un insieme infinito può avere sottogruppi della sua stessa cardinalità).
Nel caso finito dato che quegli insieme hanno la stessa cardinalità esisterà un $h \in N$ per cui $he = a^(-1)1a \Rightarrow he = 1$ e quindi $h = e^(-1)$ ma $h \in N$ e quindi $e \in N$
Ma se $e \in N$ allora $N = a^(-1)Na$ e quindi $N$ è normale.
Per il caso più generale ci sto lavorando...
allora...
per quanto riguarda gli assiomi sugli elementi quando ci son di mezzo interi gruppi io ho timore nell'utilizzarli...
ad esempio mi pare che tu abbia utilizzato il fatto che
$(ab)^(-1)=b^(-1) a^(-1)$ ma che lo abbia fatto con un gruppo intero
$(Na)^(-1)=a^(-1)N^(-1)$ ponendo poi che $N^(-1)=N$
Hai fatto questo?
E se si...si può fare?
per quanto riguarda gli assiomi sugli elementi quando ci son di mezzo interi gruppi io ho timore nell'utilizzarli...
ad esempio mi pare che tu abbia utilizzato il fatto che
$(ab)^(-1)=b^(-1) a^(-1)$ ma che lo abbia fatto con un gruppo intero
$(Na)^(-1)=a^(-1)N^(-1)$ ponendo poi che $N^(-1)=N$
"vict85":
$NaNe = Na \Rightarrow Ne = (Na)^(-1)Na \Rightarrow Ne \subset a^(-1)Na$.
Hai fatto questo?
E se si...si può fare?
La moltiplicazione tra due insieme è definita come la moltiplicazione di ogni elemento di uno per ogni elemento dell'altro. Se $AB \ne BA$ non ha senso che $(AB)^(-1) = AB$, mentre mi sembra corretto invertire i due insiemi. Comunque userei queste cose con moderazione...
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