Sottogruppi invarianti del gruppo ciclico
Ciao a tutti!
E' da qualche giorno che cerco di dimostrare a tempo perso che gli unici sottogruppi invarianti del gruppo ciclico di ordine N \(\displaystyle \mathbb{Z}_N\) sono gli \(\displaystyle \mathbb{Z}_q \) per ogni q divisore intero di N $q|N$.
Che questi insiemi funzionino come sottogruppi (chiaramente invarianti per l'abelianità del gruppo ciclico!) è ovvio. Per dimostrare che sono gli unici ho provato a lavorare nella rappresentazione \(\displaystyle g_n=(g_1)^n, n=1,...,N \) con \(\displaystyle g_1=e^{2\pi i/N} \), dimostrando che tutti i sottogruppi della forma
\(\displaystyle H_k\equiv\{1, g_k, g_{N-k}, g_{2k}, g_{N-2k},...\} \) sono uguali a \(\displaystyle Z_{q}\), dove \(\displaystyle q=\frac{N}{k} \) deve essere intero perchè \(\displaystyle H_k \) funzioni come gruppo.
Ora mi servirebbe un modo per escludere tutti gli altri possibili insiemi, ovvero dimostrare che non è riduttivo limitarsi a questi \(\displaystyle H_k \)... Però la mia unica idea in merito richiede conoscenze di divisibilità che non possiedo. Help!
E' da qualche giorno che cerco di dimostrare a tempo perso che gli unici sottogruppi invarianti del gruppo ciclico di ordine N \(\displaystyle \mathbb{Z}_N\) sono gli \(\displaystyle \mathbb{Z}_q \) per ogni q divisore intero di N $q|N$.
Che questi insiemi funzionino come sottogruppi (chiaramente invarianti per l'abelianità del gruppo ciclico!) è ovvio. Per dimostrare che sono gli unici ho provato a lavorare nella rappresentazione \(\displaystyle g_n=(g_1)^n, n=1,...,N \) con \(\displaystyle g_1=e^{2\pi i/N} \), dimostrando che tutti i sottogruppi della forma
\(\displaystyle H_k\equiv\{1, g_k, g_{N-k}, g_{2k}, g_{N-2k},...\} \) sono uguali a \(\displaystyle Z_{q}\), dove \(\displaystyle q=\frac{N}{k} \) deve essere intero perchè \(\displaystyle H_k \) funzioni come gruppo.
Ora mi servirebbe un modo per escludere tutti gli altri possibili insiemi, ovvero dimostrare che non è riduttivo limitarsi a questi \(\displaystyle H_k \)... Però la mia unica idea in merito richiede conoscenze di divisibilità che non possiedo. Help!
Risposte
Cosa sarebbe un sottogruppo invariante? Invariante rispetto a che?
"hydro":
Cosa sarebbe un sottogruppo invariante? Invariante rispetto a che?
A quanto pare è un nome alternativo per "sottogruppo normale". Ma forse non significa quello in questo caso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo