Sottogruppi e omomorfismi
Salve ragazzi qualcuno sa dirmi come si svolge il seguente esercizio?
E' molto urgente perche giorno 22 ho l'ultimo appello se non lo passo dovrò aspettare settembre:
TRACCIA
a) Determinare il sottogruppo $H$ di $ZZ_20$ di ordine 10
b)Determinare il sottogruppo $K$ di $H$ di ordine 5
c)Stabilire quanti sono gli omomorfismi surgettivi $H -> K$
Vi ringrazio tutti coloro che mi aiuteranno
E' molto urgente perche giorno 22 ho l'ultimo appello se non lo passo dovrò aspettare settembre:
TRACCIA
a) Determinare il sottogruppo $H$ di $ZZ_20$ di ordine 10
b)Determinare il sottogruppo $K$ di $H$ di ordine 5
c)Stabilire quanti sono gli omomorfismi surgettivi $H -> K$
Vi ringrazio tutti coloro che mi aiuteranno
Risposte
Provo a darti qualche indicazione, anche se ho solo vaghi ricordi di algebra 
...
a) Determinare il sottogruppo $H$ di $ZZ_20$ di ordine 10
Suppongo che l'operazione rispetto a cui calcolare il sottogruppo sia l'addizione ($+$).
Se non sbaglio dovrebbe essere $ZZ_20 = {[0],[1],[2],...,[19]}$ perciò per estrarre un sottoinsieme $A$ di 10 elementi rispetto ai quali l'addizione sia un'operazione interna devo necessariamente considerare gli elementi pari: $A={[0], [2], [4],...[18]}$, perché sommando due elementi pari ho un elemento pari, mentre sommando due elementi dispari trovo invece un elemento pari.
A posteriori si controlla che le proprietà di gruppo (esistenza dell'elemento neutro, esistenza dell'inverso, ecc.) sono verificate, perciò $A$ è il sottogruppo $H$ cercato.
b)Determinare il sottogruppo $K$ di $H$ di ordine 5
Seguendo un ragionamento analogo, da $H$ devo estrarre 5 elementi rispetto ai quali l'operazione di addizione sia interna. In questo caso è sufficiente scegliere gli elementi multipli di 4: $B={[0], [4], ...,[16]}$.
A posteriori si controlla che $B$ è effettivamente un gruppo e quindi è il sottogruppo $K$ cercato.
Di fronte al quesito c le mie debolissime reminescenze di algebra crollano miseramente](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
, spero che qualcuno di piú valente possa soccorrerti in tempo (magari integrando i miei traballanti suggerimenti).
In ogni caso in bocca al lupo per l'esame!!!
...a) Determinare il sottogruppo $H$ di $ZZ_20$ di ordine 10
Suppongo che l'operazione rispetto a cui calcolare il sottogruppo sia l'addizione ($+$).
Se non sbaglio dovrebbe essere $ZZ_20 = {[0],[1],[2],...,[19]}$ perciò per estrarre un sottoinsieme $A$ di 10 elementi rispetto ai quali l'addizione sia un'operazione interna devo necessariamente considerare gli elementi pari: $A={[0], [2], [4],...[18]}$, perché sommando due elementi pari ho un elemento pari, mentre sommando due elementi dispari trovo invece un elemento pari.
A posteriori si controlla che le proprietà di gruppo (esistenza dell'elemento neutro, esistenza dell'inverso, ecc.) sono verificate, perciò $A$ è il sottogruppo $H$ cercato.
b)Determinare il sottogruppo $K$ di $H$ di ordine 5
Seguendo un ragionamento analogo, da $H$ devo estrarre 5 elementi rispetto ai quali l'operazione di addizione sia interna. In questo caso è sufficiente scegliere gli elementi multipli di 4: $B={[0], [4], ...,[16]}$.
A posteriori si controlla che $B$ è effettivamente un gruppo e quindi è il sottogruppo $K$ cercato.
Di fronte al quesito c le mie debolissime reminescenze di algebra crollano miseramente
, spero che qualcuno di piú valente possa soccorrerti in tempo (magari integrando i miei traballanti suggerimenti).In ogni caso in bocca al lupo per l'esame!!!
Grazie infinite...anche se non capisco...non fai nessun calcolo...
cioè tu stabilisci un sottogruppo di ordine 10 solamente vedendo che sommando i numeri pari ottieni 10 numeri?
infatti se se fai $H$ generato da $<2>$ ottieni
$H={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18}$che sono esattamente 10 elementi, quindi il sottogruppo generato $H$ generato da $<2>$ ha ordine 10 giusto?
e lo stesso per la risposta B solo che hai preso in considerazione gli elementi di $H$ non tutto $ZZ$?
mi dovete aiutare sulla c è importante vi prego ragazzi...
:*
Lucy
cioè tu stabilisci un sottogruppo di ordine 10 solamente vedendo che sommando i numeri pari ottieni 10 numeri?
infatti se se fai $H$ generato da $<2>$ ottieni
$H={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18}$che sono esattamente 10 elementi, quindi il sottogruppo generato $H$ generato da $<2>$ ha ordine 10 giusto?
e lo stesso per la risposta B solo che hai preso in considerazione gli elementi di $H$ non tutto $ZZ$?
mi dovete aiutare sulla c è importante vi prego ragazzi...
:*
Lucy
nessuno?
Per il c), dal momento che H è isomorfo a $ZZ_2 xx ZZ_5$, basta che trovi gli omomorfismi suriettivi fra $ZZ_2 xx ZZ_5$ e $ZZ_5$, la qual cosa è sistemata della teoria...
perche?e poi quello che ho detto io è giusto?
"xlucyx":
perche?e poi quello che ho detto io è giusto?
Allora, più semplicemente, $ZZ_20$ è un gruppo ciclico generato ovviamente da 1. In generale se hai un gruppo ciclico C di ordine n generato da g, per trovare un sottogruppo di C di ordine x (e ovviamente x deve dividere n) basta che prendi il sottogruppo generato da $g^(n/x)$.
Nel nostro caso, $1+1=2$ ha periodo $10$, e $1+1+1+1=4$ ha periodo $5$ e quindi $H=<2>$ e $K=<4>$.
mmm più semplicemente ancora una volta trovato che $H=<2>$ ha fatto $2^2=<4>$ ed hai trovato il sottogruppo di ordine 5 ($2^(10/5)$
Veniamo al c).
Se non sai i concetti teorici a cui mi riferisco, basta che osservi questo. Se C e D sono gruppi ciclici e g e' generatore di C e f e' un omomorfismo, necessariamente deve essere $f(g^n)=f(g)^n$, e quindi f e' determinato univocamente da f(g). Dunque sia $d\in D$. Ponendo $f(g)=d$ e $f(g^n)= d^n$, hai che f e' certamente un omomorfismo. Pero' bisogna controllare che sia ben definito, ovvero che se $g^n=g^m$,allora $d^n=d^m$. Se o(a) e' il periodo di un elemento a, devi dunque avere che se o(g) divide $n-m$, allora o(d) divide $n-m$. f e' suriettivo quando d e' un generatore di D. Dunque il numero di omorfismi da C in D e' pari agli elementi di D e il numero di omomorfismi suriettivi e' pari al numero di generatori di D (se gli omomorfismi risultano sempre ben definiti).
Nel nostro caso $C=H=ZZ_10$ e $D=K=ZZ_5$ (perche' H e isomorfo a $ZZ_10$ e K a $ZZ_5$. Dunque gli omomorfismi suriettivi sono pari al numero di generatori di $ZZ_5$, ovvero $4$. Infatti l'ordine del generatore di $ZZ_10$ e' 10, mentre l'ordine di un qualsiasi generatore di $ZZ_5$ e' 5, e dunque risulta in base alla considerazioni sopra che gli omomorfismi sono sempre ben definiti.
Se non sai i concetti teorici a cui mi riferisco, basta che osservi questo. Se C e D sono gruppi ciclici e g e' generatore di C e f e' un omomorfismo, necessariamente deve essere $f(g^n)=f(g)^n$, e quindi f e' determinato univocamente da f(g). Dunque sia $d\in D$. Ponendo $f(g)=d$ e $f(g^n)= d^n$, hai che f e' certamente un omomorfismo. Pero' bisogna controllare che sia ben definito, ovvero che se $g^n=g^m$,allora $d^n=d^m$. Se o(a) e' il periodo di un elemento a, devi dunque avere che se o(g) divide $n-m$, allora o(d) divide $n-m$. f e' suriettivo quando d e' un generatore di D. Dunque il numero di omorfismi da C in D e' pari agli elementi di D e il numero di omomorfismi suriettivi e' pari al numero di generatori di D (se gli omomorfismi risultano sempre ben definiti).
Nel nostro caso $C=H=ZZ_10$ e $D=K=ZZ_5$ (perche' H e isomorfo a $ZZ_10$ e K a $ZZ_5$. Dunque gli omomorfismi suriettivi sono pari al numero di generatori di $ZZ_5$, ovvero $4$. Infatti l'ordine del generatore di $ZZ_10$ e' 10, mentre l'ordine di un qualsiasi generatore di $ZZ_5$ e' 5, e dunque risulta in base alla considerazioni sopra che gli omomorfismi sono sempre ben definiti.
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