Sottogruppi di Zn

[akkappa]

Ciao a tutti, ho un esercizio che mi chiede di determinare tutti i sottogruppi di $Z_6$ ( credo sia in notazione additiva), solo che non saprei veramente da dove partire, l'unica cosa che ho pensato è che i sottogruppi avranno ordine $3$ e $2$(per il teorema di lagrange).
Mi potreste aiutare a continuare l'esercizio?

Vi ringrazio

[vict85]

Sicuramente è il gruppo additivo, altrimenti sarebbe \(\mathbb{Z}_n^{\ast}\). In ogni caso i gruppi ciclici hanno la proprietà che possiedono uno e un solo sottogruppo per ogni divisore dell'ordine del gruppo. Questo dovrebbe aiutarti. La dimostrazione non è difficilissima, prova a ragionarci sopra.

[dan952]

Quali sono i divisori 6?
1, 2, 3 e 6
Da quel che ha detto vict sappiamo che esiste uno e un solo sottogruppo ciclico non banale per ogni divisore dell'ordine (ovvero uno ed uno solo di ordine 2 e uno ed uno solo di ordine 3), quali?
$H_2={0, 3}$ e $H_3={0, 2, 4}$
Come si trovano?
Ogni elemento genera un sottogruppo ciclico avente come ordine l'ordine dell'elemento (in $ZZ_n$ l'ordine di un elemento $g$ è $ \frac{n}{(g,n)}$)
Inoltre ci sono i sottogruppi banali come $H_1={0}$ e $H_4={0, 1, 2, 3, 4, 5}$ quest'ultimo è un gruppo ciclico che ha come generatori $g=1$ e $g=5$.

[akkappa]

Ok grazie ragazzi , sto incominciando a capire, non mi è chiara una cosa però, quando dite "sottogruppo banale" cosa state intendendo?
cioè perché $H_4$ è banale? perché è composto da tutti gli elementi di $Z_6$?

[dan952]

I sottogruppi banali di un gruppo $G$ sono il sottogruppo $H={e}$ formato dal solo elemento neutro e il gruppo stesso

[akkappa]

ok perfetto, però ho ancora un piccolo problema nel determinare questi sottogruppi, l'eserzio continua dicendo di trovare i sottogruppo di $Z_8$ e $Z_12$, però non riesco ancora a capire come generarli a livello pratico, ad esempio per $Z_8$ i divisori sono $1,2,4$, ora per determinare quelli di ordine 2 come faccio a livello pratico?

Vi ringrazio ancora per l'immensa disponibilità

[dan952]

Considera che i numeri coprimi con 8 generano tutto $ZZ_8$ perché $\frac{8}{(g,8)}=8$, mentre 2 ha ordine 4 dunque genera un sottogruppo ciclico di ordine 4 $H_1={0,2,4,6}$ e 4 uno di ordine 2 $H_2={0,4}$

[akkappa]

ok allora spiego quello che ho capito:

io so che sostanzialmente mi interessano solo i sottogruppi di ordine $2$ e $4$, incominciamo con quello di ordine $2$:

io devo considerare numero per numero in $Z_8$ e verificare che ordine ha?

ad esempio analizzo il $2$, e vedo che $ 2+2=4$ quindi aggiungo $4$ al sottogruppo,poi $2+2+2=6$ (lo aggiungo) e poi $2+2+2+2=8$ però quest'ultimo non lo considero perché $8$ non è un elemento del gruppo $Z_8$ ( anche perché sarebbe 0 modulo 8)
E giusto?

Allora provo a fare da solo l'esercizio per $Z_12$ vediamo che combino:

i divisori si $12$ sono : $1,2,4,6$

allora $2$ ha ordine $6$ quindi genera il sottogruppo $H_1={0,2,4,6,8,10}$
$4$ ha ordine $3$ quindi genera il sottogruppo $H_2={0,4,8}$
$6$ ha ordine $2$ quindi genera il sottogruppo $H_3={0,6}$

L'ho svolto correttamente?

[dan952]

"akkappa":i divisori si 12 sono :

1,2,3,4,6,12 (ti eri scordato il 3 e il 12)

Manca quello di ordine 4 generato da 3

[akkappa]

a è vero anche $3$ che sbadato:

$3$ ha ordine 4 quindi genera il sottogruppo $H_4={0,3,6,9}$

è corretto?

[dan952]

Si

[akkappa]

Ok perfetto, ora la seconda parte dell'esercizio dice: "di tutti i sottogruppi trovati indicare quelli normali"
Qui io applicherei direttamente la definizione di sottogruppo normale, è giusto o c'è qualche altro metodo?

[dan952]

$ZZ_n$ è ciclico
Tutti i gruppi ciclici sono abeliani
Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale

[akkappa]

ok si scusa della domanda stupida solo che ancora dovevo arrivare a studiare i gruppi abeliani, ho li ho studiati e ovviamente confermo.
Ti ringrazio per tutto